電磁感應電路中功能關系的辨析

程方勇

(武漢市新洲一中 湖北 武漢 430410)

電磁感應中的功能關系是高中物理里面非常難以理解的一部分內容.特別是當里面含有電動機模型時，能量轉化過程很復雜，這里面有其他能轉化成電能，也有電能轉化成內能和機械能等其他能，理清能量轉化的過程很重要.我們知道，功是能量轉化的量度，每種能的轉化必定要通過某種功去實現.所以，當我們無法辨別能量的轉化方向時，可以借助功去分析它.在電磁感應現象中，導體棒或者線圈克服安培力做功是量度其他能轉化為電能的，往往充當發電機，而當安培力對它們做正功時，則往往是消耗電能，充當電動機.

下面，筆者通過教學過程中學生極易錯的具體例題來辨析其中的功能轉化關系，與同行們一起探討.

1 雙棒問題中的功能關系

【例1】(2008年2月武漢市調考)如圖1所示，間距為l，電阻不計的兩根平行金屬導軌MN,PQ(足夠長)被固定在同一水平面內，質量均為m，電阻均為R的兩根相同導體棒a,b垂直于導軌放在導軌上，一根輕繩繞過定滑輪后沿兩金屬導軌的中線與a棒連接，其下端懸掛一個質量為M的物體C，整個裝置放在方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場中.開始時,使a,b,C都處于靜止狀態，現釋放C，經過時間t，C的速度為v1,b的速度為v2.不計一切摩擦，兩棒始終與導軌接觸良好，重力加速度為g.求：

(1)t時刻C的加速度值；

(2)t時刻a,b與導軌所組成的閉合回路消耗的總電功率.

圖1

解析：此題是一道力、電綜合題，比較而言，力學問題不算太難.電路分析與功能分析難度較大，是此題考查的重點，且兩者相互關聯.第一問解答如下.

根據法拉第電磁感應定律，t時刻回路的感應電動勢

(1)

回路中感應電流

(2)

以a為研究對象，根據牛頓第二定律

T-BIl=ma

(3)

以C為研究對象，根據牛頓第二定律

Mg-T=Ma

(4)

聯立式(1)～(4)解得

第二問求的電路總功率，是否就是熱功率，即是否P熱=I2R，即

我們知道，只有是純電阻電路時，電功率等于熱功率.考查這個系統的能量轉化過程如圖2所示.

圖2 雙棒系統能量轉化過程

不難發現，a棒是克服安培力做功，是產生電能的，它是發電機，而b棒是安培力做正功，是消耗電能的，它是電動機.即由兩棒及導軌構成的回路并不是純電阻電路，而是含電動機電路. 那么,電能就不是全部轉化為內能，還應該加上機械能即b棒增加的動能，這樣,第二問就產生了第一種解法.

解法1：閉合回路消耗的熱功率

b棒的機械功率為

故閉合回路消耗的總電功率

這種解法帶來了一個新問題，那就是在第一問中計算電流的方程組(1)、(2)是否正確？需要說明的是，法拉第電磁感應定律只是從數學角度給出了全電路的電動勢，并未完全反映現象中全部的物理本質.實際上，本題中的感應電動勢應該由電源電動勢即a棒的電動勢和b棒產生的反電動勢組成，即

E=Ea-Eb

認清了這個問題，就給本題帶來了第二種解法.

解法2：a棒等效為發電機，b棒等效為電動機.

a棒的感應電動勢

Ea=Blv1

(5)

閉合回路消耗的總電功率

P=IEa

(6)

聯立式(1)、(2)、(5)、(6)解得

根據功能關系，本題還有第三種解法.單位時間內，通過a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢能轉化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉化為b棒的動能，所以，t時刻閉合回路的電功率等于a棒克服安培力做功的功率，即

2 磁場自身運動中的功能轉換問題

【例2】如圖3所示，兩平行長直金屬導軌置于豎直平面內，間距為L，導軌上端有阻值為R的電阻，質量為m的導體棒垂直跨放在導軌上，并擱在支架上，導軌和導體棒電阻不計，接觸良好，且無摩擦．在導軌平面內有一矩形區域的勻強磁場，方向垂直于紙面向里，磁感應強度為B.開始時導體棒靜止，當磁場以速度v勻速向上運動時，導體棒也隨之開始運動，并很快達到恒定的速度，此時，導體棒仍處在磁場區域內.試求：

(1)導體棒的恒定速度；

(2)導體棒以恒定速度運動時，電路中消耗的電功率．

圖3

解析:此題屬于單棒切割磁感線，但磁場與導體棒都有運動，設棒速為v′，則由法拉第電磁感應定律得

E=BL(v-v′)

則導體棒受安培力

導體棒受力平衡有

mg=F安

聯立得

圖4

【例3】隨著越來越高的摩天大樓在各地的落成，至今普遍使用的鋼索懸掛式電梯已經漸漸地不適用了.這是因為鋼索的長度隨著樓層的增高而相應增加，這樣鋼索會由于承受不了自身的重量，還沒有掛電梯就會被扯斷.為此，科學技術人員正在研究用磁動力來解決這個問題.如圖4所示就是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=1 T，兩磁場始終豎直向上做勻速運動.電梯轎廂固定在如圖4所示的一個用超導材料制成的金屬框abcd內(電梯轎廂在圖中未畫出)，并且與之絕緣.電梯載人時的總質量為5×103kg，所受摩擦力f=500 N，金屬框垂直軌道的邊長Lcd=2 m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長Lac相同，金屬框整個回路的電阻R=9．5×10-4Ω，假如，設計要求電梯以v1=10 m/s的速度向上勻速運動，問：

(1)磁場向上運動速度v0應該為多大？

(2)在電梯向上做勻速運動時，為維持它的運動，磁場提供功率是多少？

解析：(1)當電梯向上勻速運動時，金屬框中感應電流大小為

(7)

金屬框所受安培力

F=2B1ILcd

(8)

安培力大小與重力和摩擦力之和相等，所以

F=mg+f

(9)

由式(7)～(9)求得

v0=13 m/s

(2)磁場克服安培力做功，輸出能量轉化為電能，分為兩部分，一部分在閉合電路中由電流經電阻做功轉變為金屬框的內能，另一部分通過安培力對線框做正功，即克服電梯的重力和阻力做功，轉化為電梯的勢能和摩擦內能.當電梯向上做勻速運動時，金屬框中感應電流由式(7)得

I=1．26×104A

金屬框中的焦耳熱功率為

P1=I2R

代入數據得

P1=1．51×105W

(10)

而電梯的有用功率

P2=mgv1

代入數據得

P2=5×105W

(11)

阻力的功率

P3=fv1

代入數據得

P3=5×103W

(12)

磁場提供總功率

P總=P1+P2+P3

代入數據得

P總=5.56×105W

結論驗證：當電梯勻速運動時，電梯所受阻力或安培力是重力與摩擦力的合力

F=mg+f

代入數據得

F=5.05×104N

安培力與磁場速度的乘積

P=Fv0

代入數據得

P=5.56×105W

即安培力與磁場速度的乘積是磁場提供的電功率.通過計算進一步證明上面結論正確.

通過以上分析，我們發現電能的轉化是通過克服安培力做功才實現的，對象可以是導體棒、線圈或者磁場，它們是發電機.而消耗電能是閉合電路里面通過電流做功去實現.用電器不同，電能轉化的方向不同.純電阻電路的電能全部轉化為內能，而當有安培力對導體棒或者線框做正功時，就有了電動機，盡管也切割磁感線，但它并不產生電能而是消耗電能.我們注意到，新課標的教材與大綱版教材在本章有很大區別，其中，在這一部份，新課標教材《物理·選修3-2》引入了反電動勢的概念，值得我們重視.另外，也可把這一部份與恒定電流里面的含電動機電路作對比分析，能幫助學生進行理解.