用EXCEL模擬變加速運動的嘗試

鄧宏偉

(洪洞縣第一中學 山西 臨汾 041600)

變加速運動是中學物理教學中的一個難點，由于加速度的變化，導致速度非線性變化，從而使中學物理公式失去用武之地.

中學物理對此類運動的處理有兩種方法：

(1)由現象尋找運動規律，如簡諧運動的教學，就是通過頻閃照相來研究彈簧振子的位移與時間的關系，從而得出其運動規律；

(2)倒推法，如帶電微粒垂直進入磁場在洛倫茲力作用下的運動，并沒有直接證明就是勻速圓周運動，而是先猜測出可能做圓周運動，再反推出勻速圓周運動的向心力恰好與所受洛倫茲力相同，從而證明微粒運動為勻速圓周運動.

以上兩種方法都沒能從受力直接推導出運動規律，難以使學生從心里上獲得認同感，筆者在教學中嘗試使用學生較熟悉的Excel軟件來模擬物體在受到變力時的運動情形，獲得了較好的教學效果，現將筆者的一些做法呈現出來，請同行批評指正.

1 總體思路

在中學物理中比較強調“微元”思想的滲透，在一個很小的時間間隔內，物理量可以化變為恒，物理量變化的關系圖線可以化曲為直.

筆者正是利用這種思想，將物體的運動分隔為很多個小的時間段，將每個時間段內的運動看作勻變速直線運動進行處理，時間間隔越小，則所描述的運動越接近真實的運動.在數據處理時，如果用手工進行計算顯然是難以實現的，而Excel則可以完成這個任務.

2 實例分析

2.1 探究彈簧振子的運動規律

如圖1所示，一中間有孔的小球穿在一個光滑的細桿上，左端連接一輕質彈簧.彈簧的勁度系數為κ=100 N/m，小球質量為m=0.1 kg.現將小球由平衡位移置向右移動x=0.1 m，請問小球的位置坐標、速度隨時間如何變化？

圖1

2.1.1 設計思想

取釋放小球時刻為計時起點，以小球平衡位置為坐標原點，向右為正方向.由受力分析可知小球的加速度

先在Excel表格中輸入初狀態的各物理量的值，再計算Δt時間后的各物理量(計算過程如圖2所示)，如此不斷循環，就可以算出各時刻的坐標、速度、加速度.

圖2 計算過程框圖

2.1.2 操作步驟

(1)在Excel表格的第1行輸入各已知量.

在A1，C1，E1，G1單元格分別輸入文字“勁度系數κ”、“質量m”、“初位置x0”、“時間間隔Δt”；在B1，D1，F1，H1單元格輸相對應物理量的數值，以備后面的計算使用.

(2)在第2行寫上各變量名(在A2,B2,C2,D2單元格分別輸入t,x,a,v).

(3)第3行輸入零時刻(初狀態)的數據.

(4)第4行輸入經過Δt時間后各變量的表達式.

1)算出該時刻的速度：在“D4”單元格輸入該時刻的速度表達式v=v0+aΔt，其中v0,a為上一時刻的速度、加速度，Δt為提前設置的值(即H1單元格數值)，因此在單元格輸入“=D3+C3*$H$1”.

2)算出該時刻的位置坐標：在“B4”單元格輸入公式

(輸入“=B3+(D3+D4)*$H$1/2”).

3)算出該時刻的加速度：在“C4”單元格輸入該時刻的加速度表達式

(在該單元格輸入“=-1*$B$1*B4/$D$1”).

(5)選擇第4行，出現小箭頭后向下填充即可計算出各時刻的相應物理量.

(6)選中x,t兩行數據，點插入→圖表→x,y散點圖→光滑曲線連接，并設置數據點格式為“無”，即可作出該運動的x-t圖像；同理，可作出v-t,a-t圖像.

2.1.3 描繪結果

作出圖線如圖3所示(Δt=0.000 2 s).

將所描繪出的圖線與正弦圖像進行比對，可以得出結論：彈簧振子的位移、速度、加速度等物理量均按正弦規律(初相位不一定是零)變化，這樣的運動叫做簡諧運動.

圖3

2.1.4 拓展分析

(1)改變表格中的κ,m值(只需改變“B1”,“D1”兩單元格的數字)，可以研究彈簧振子的周期T與κ,m的關系.

那么,在偏轉角度較大時周期為多少呢？這個問題也可以用上述的方法來分析，并能得出其周期與最大偏轉角的關系.

2.2 探究帶電微粒垂直進入磁場僅在洛倫茲力作用下的運動規律

圖4

如圖4所示，平面內存在垂直紙面向內的勻強磁場，磁感應強度B=1 T，一帶電小球(質量為m=0.016 kg ，電荷量為q=0.001 6 C)以v0=10 m/s的速度沿著x軸方向從原點處進入磁場，試分析小球將做什么運動(忽略小球的重力)？

2.2.1 設計思想

將帶電小球的位移、速度、加速度、洛倫茲力正交分解.水平速度產生豎直方向的洛倫茲力，而豎直速度產生水平方向洛倫茲力，因此,由某一時刻的水平速度和豎直速度可算出該時刻在豎直方向和水平方向所受的洛倫茲力，從而求出該時刻的加速度，再由該時刻的加速度求出下一時刻的速度，如此循環，便可求出各時刻的速度及加速度，再由勻變速直線運動的規律求出各時刻的橫、縱坐標值，示意圖如圖5所示.

圖5 設計思想示意圖

2.2.2 操作步驟

(1)在Excel表格的第1行輸入各已知量.

在A1，C1，E1，G1單元格分別輸入文字“磁感應強度B”、“質量m”、“電荷量q”、“時間間隔Δt”；在B1，D1，F1，H1單元格輸入對應物理量的數值，以備后面的計算使用.

(2)在第2行寫上各變量名.

(3)第3行輸入零時刻(初狀態)的數據.

在“D3”單元格輸入水平初速度“10”，在“C3”單元格輸入公式,計算出此時的豎直方向加速度

(在C3單元格中輸入“=$F$1*D3*$B$1/$D

$1”)，其他物理量均為零.

(4)第4行輸入經過Δt時間后各變量的表達式.

1)算出該時刻的速度：在“D4”單元格輸入該時刻的水平速度表達式

vx=vx0+axΔt

(在該單元格輸入“=D3+B3*$H$1”).

同理，在“E4”單元格輸入該時刻的y方向速度表達式

vy=vy0+ayΔt

(在該單元格輸入“= E3+C3*$H$1”).

2)算出該時刻的加速度：

在“B4”單元格輸入該時刻水平方向加速度表達式

(在該單元格輸入“=-1*$F$1*E4*$B$1/

$D$1”).

同理，在“C4”單元格輸入豎直方向加速度表達式

(在該單元格輸入“=$F$1*D4*$B$1/$D$1”).

3)算出該時刻的坐標值：在“F4”單元格輸入橫坐標公式

(輸入“=F3+(D4+D3)*$H$1/2”)，“G4”單元格輸入縱坐標公式

(輸入“=G3+(E4+E3)*$H$1/2”).

(5)選擇第4行，出現小箭頭后向下填充即可計算出各時刻的相應物理量.

(6)分別選擇選中x,y兩行數據，點插入→圖表→x,y散點圖→光滑曲線連接，并設置數據點格式為“無”，即可作出帶電微粒的運動軌跡.同理，可作出vx-t,vy-t等圖像.

2.2.3 描繪結果

作出圖線如圖6所示(Δt=0.033 s).

圖6

通過以上分析，學生明白了在洛倫茲力作用下物體的運動軌跡是一個圓，說明物體確實做圓周運動.進一步研究可以驗證圓周運動的半徑公式為

周期公式為

并可通過vx,vy隨時間t的變化規律對圓周運動進行更深入地理解.

2.3 探究帶電小球在復合場中的運動規律

如圖7所示，在足夠大的范圍內存在豎直向下的勻強電場(E=1 N/C)和垂直紙面向內的勻強磁場(B=3 T)，將一質量為m=0.01 kg，電荷量為q=0.1 C的帶電小球，在電磁場中由靜止釋放，問小球做什么運動(重力加速度g=10 m/s2)？

圖7

2.3.1 設計思想

與情境2相同，只是豎直方向受到電場力和重力作用，因而，加速度發生變化.

2.3.2 具體操作

(1)在Excel表格的第1行輸入各已知量名稱及數值.

在A1，C1，E1，G1,I1單元格分別輸入文字“電場強度E”、“磁感應強度B”、“質量m”、“電荷量q”、“時間間隔Δt”；在B1，D1，F1，H1，J1單元格輸入對應物理量的數值，以備后面的計算使用.

(2)在第2行寫上各變量名.

在A2，B1，C1，D1，E1，F1，G1單元格分別輸入文字“t”、“ax”、“ay”、“vx”、“vy”、“x”、“y”.

(3)第3行輸入零時刻(初狀態)的數據，并計算出此時的豎直方向加速度

(在C3單元格中輸入“20”)，其他物理量均為零.

(4)第4行輸入經過Δt時間后各變量的表達式.

1)算出該時刻的速度：在“D4”單元格輸入該時刻的水平速度表達式

vx=vx0+axΔt

(在該單元格輸入“=D3+B3*$J$1”)

同理，在“E4”單元格輸入該時刻的豎直速度表達式

vy=vy0+ayΔt

(在該單元格輸入“= E3+C3*$J$1”).

(在該單元格輸入“=-1*$H$1*E4*$D$1/

$F$1”).

同理，在“C4”單元格輸入該時刻的豎直加速度表達式

(在該單元格輸入“=($H$1*D4*$D$1-$H$1*$B$1)/$F$1-10”).

3)算出該時刻的坐標值：在“F4”單元格輸入橫坐標公式

(輸入“=F3+(D4+D3)*$J$1/2”)，在“G4”單元格輸入縱坐標公式

(輸入“=G3+(E4+E3)*$J$1/2”).

(5)選擇第4行，出現小箭頭后向下填充即可計算出各時刻的相應物理量.

(6)選中x,y兩行數據，采用與情境2相同的方法做出帶電微粒的運動軌跡.

2.3.3 描繪結果

時間間隔不同，則所獲得的圖線不同，圖8分別為時間間隔取0.01 s，0.002 s，0.000 3 s時的圖線.由圖8可看出，時間間隔較大時，計算結果誤差較大，時間間隔取得越小，則描繪的圖像越精確，可以想像，當時間間隔取得更小時，所畫圖線可以更接近實際運動軌跡.

圖8 不同時間間隔帶電小球在磁場中的運動軌跡

2.3.4 對結果的檢驗

由運動的合成和分解方法，將初速度(v初=0)分解為向左和向右的兩個速度，設兩速度大小為v0.向右的分運動應使洛倫茲力與重力、電場力平衡，從而使物體做勻速直線運動，即

qv0B=qE+mg

向左的分運動則使小球做勻速圓周運動

由以上各式代入數據解得

則小球向下運動的最大位移為

y=2ry≈0.44 m

一個周期內小球向右運動的距離

x=v0Tx≈0.14 m

上述結果與Excel(Δt=0.003 s時)所繪出的圖像完全吻合，說明本文所用方法能夠比較準確的描述出小球的運動，是完全可行的.

3 該方法的應用范圍及教育意義

該方法適用于中學階段所遇到的很多變加速運動的處理過程，也可以適用于電學中的一些問題，如電容器放電時的電流的模擬等，相信通過教師的創造性工作，可以使這種模擬的思想適用于更廣的范圍.這種方法教學有以下幾方面的教育意義.

(1)使學生對“微元法”處理物理問題有了更深入的理解，明確在時間間隔很小的情況下，用“微元法”可以很好地模擬實際情形.

(2)從學生比較熟悉的物理規律、電腦軟件、物理方法出發，得出結論，獲得了學生的心理認同感，使學生更容易接受知識.

(3)用計算機模擬的方法推演實際情形是一種應用很廣的方法，比如在設計好一種飛機后一般要進行大量計算機模擬飛行來積累數據，驗證其可行性然后再進行制造.通過本文所用的方法可以給學生滲透這樣一種方法，以填補中學物理教育的一項空白.

(4)可以培養學生積極思考的思維品質，知道有時用簡單的工具也可以完成復雜的任務，同時可以培養學生的創造性思維能力.