利用數學公式和物理模型求曲率半徑

丁震

(江蘇省泰興中學 江蘇 泰州 225400)

高中物理教學中處理一般曲線運動的力和運動問題，常建立圓周運動模型，圓為相切圓或輔助圓，相切圓的半徑即為曲率半徑.在自主招生和物理競賽的命題中，關于曲率半徑的知識也屢見不鮮.筆者重點利用幾種常見的物理模型推導圓錐曲線中特殊位置的曲率半徑，拋磚引玉，希望各位同仁批評指正.

1 曲率公式

曲線運動的軌跡是曲線，在數學上，用曲率描述曲線(連續函數)彎曲程度.如圖1所示,坐標系xOy中,曲線上有兩逼近的點M和M′，設MM′的弧長為Δs，M和M′切線的傾斜角變化量為Δα，則弧微分公式

平均曲率

圖1

M點的曲率

其中y′為一階導數，y″為二階導數.

只要曲線方程給定，都能夠利用公式求出曲線上各點的曲率半徑.

2 平拋運動模型

如圖2所示,小球m以v0平拋，不計阻力，則

我們也需要注意到，大數據其實已經對傳統調查方法產生了沖擊。我們應該關注和思索這個問題。不過，大數據通常掌握在騰訊、百度、阿里等大公司手里，個人大多并不掌握大數據的管道，并不容易獲取大數據。如果你不能獲取大數據，那么你就去找小數據，做抽樣問卷調查，獲得結構化數據。目前，大數據方法和傳統調查方法處于并用階段。當前以及今后一段很長的時間里，抽樣問卷調查依然是一種很常用的調查研究方法。

消去t得

得

故頂點O處曲率半徑ρ=p.

圖2

3 簡諧運動模型

質點m做橢圓運動，可視為兩個互相垂直的同頻率簡諧運動的疊加，如圖3所示.

圖3

x方向：Fx=-kx，振幅為a；y方向Fy=-ky，振幅為b，其中k為回復力系數,則在頂點A處

簡諧運動的頻率

得

同理,頂點B處

4 天體運動模型

圖4

質量為M的太陽在焦點F(c,0)處.設行星在雙曲線軌道頂點時的速率為v0，質量為m的行星繞太陽運動在頂點處的機械能為

設行星遠離太陽時的速率為v∞，根據開普勒第二定律

vb=v0(c-a)

根據機械能守恒定律

可得

在頂點處

得

5 凹面鏡模型

幾何光學中凹面鏡成像的物、像關系在近軸光線條件下，利用笛卡兒規則表示為

其中s′為像距，s為物距，r為球面半徑，頂點左側為負，右側為正.

分別利用物、像關系推導圓錐曲線中頂點處的曲率半徑.

圖5

如圖5(a)，當反射面為拋物面時

得

ρ=p

如圖5(b)，當反射面為橢圓面時

得

如圖5(c)，當反射面為雙曲面時

得

物、像關系的適用條件必須是近軸光線，而曲線上M和M′無限逼近，恰好使這一條件得以滿足，使得求曲率半徑不再是近似，而是精確求解，同時利用幾何光學求解更簡單、易理解.

參考文獻

1 同濟大學數學教研室．高等數學(第3版)． 北京：高等教育出版社，1988

2 沈晨．更高更妙的物理(第1版)． 杭州：浙江大學出版社，2006