利用位移圖線巧解相遇難題

顧成綱

(上虞市城南中學(xué) 浙江 紹興 312300)

何海明

(紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000)

相遇問(wèn)題一般涉及兩個(gè)甚至多個(gè)對(duì)象，利用圖像分析容易找到各運(yùn)動(dòng)量間的關(guān)系.我們知道速度-時(shí)間圖線的交點(diǎn)并非是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相遇，但在同一坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)位移-時(shí)間圖線交點(diǎn)意義為質(zhì)點(diǎn)相遇時(shí)刻.位移圖線的這一直觀性給解決相遇問(wèn)題提供了其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).下面介紹幾種利用位移圖線解繁難相遇問(wèn)題的幾種方法.

1 參照系變換法

【例1】某人劃船逆流而上.經(jīng)過(guò)橋洞時(shí)，船上竹制漁竿不慎掉到河里，小船一直逆行到上游某處才發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)后便立即掉頭追趕，當(dāng)他返航t=10 min追上竹竿，此時(shí)漁竿距橋洞x=1×103m，若此人劃行速率始終不變，不計(jì)小船調(diào)頭時(shí)間，試求河水的流速.

圖1

解析：取小船逆流而上劃行方向?yàn)檎较颍詷驗(yàn)閰⒄詹⒆鳛槲灰圃c(diǎn)，畫出流水的位移圖線b.以流水為參照，畫出小船的位移圖線a.因?yàn)樾〈诹魉型等∥锵鄬?duì)流水速率不變，位移圖線對(duì)稱，如圖1所示.追及漁桿時(shí)，漁桿在流水中已漂流了20 min時(shí)間.所以，流水速度為

2 曲直轉(zhuǎn)換法

【例2】甲、乙兩球從同一地點(diǎn)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，甲的初速度為2v0，乙的初速度為v0，試求乙比甲推遲多久拋出，兩球才能在空中相遇.

解析：拋體運(yùn)動(dòng)的位移-時(shí)間圖線是拋物線，如果我們?cè)O(shè)法消去重力加速度引起的影響，位移圖線由曲線變?yōu)橹本€.以自由落體運(yùn)動(dòng)物體做參照物就可實(shí)現(xiàn)曲直轉(zhuǎn)換.因?yàn)閽侒w運(yùn)動(dòng)上升時(shí)間和下降時(shí)間相等，將返回階段的位移圖線折回到時(shí)間軸t，更能反映出拋體運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱特點(diǎn)，使問(wèn)題變得更加直觀.畫出甲、乙兩球相遇的兩種臨界情況(圖2).由圖2可直觀看出，要使兩球空中相遇，乙球比甲球推遲拋出時(shí)間范圍

圖2

【例3】一個(gè)小孩仰躺在地上，手持玩具手槍豎直向上，朝天連續(xù)開槍，子彈射出槍口的速度為30 m/s，每隔1 s發(fā)射一顆子彈，假設(shè)發(fā)射的子彈在空中不發(fā)生碰撞.試問(wèn)：對(duì)于第一顆子彈，在空中可遇到多少顆子彈從它旁邊擦過(guò)(不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2)？

解析：因?yàn)橹亓铀俣葘?duì)每一顆子彈都一樣，不考慮自由落體運(yùn)動(dòng)的影響，子彈做勻速上升運(yùn)動(dòng).現(xiàn)仍用例題2的策略，將下降過(guò)程的圖線折回到時(shí)間軸一邊，每顆子彈的位移圖線變成依次錯(cuò)位1 s的等腰三角形(圖3)，圖線的交點(diǎn)表示兩子彈相遇，共有5顆子彈在空中與第一顆子彈相遇.進(jìn)一步考查圖線可以看出，第6顆及其后發(fā)射的子彈，在空中10顆子彈都能遇到.

圖3

3 虛實(shí)轉(zhuǎn)換法

【例4】在一條筆直的公路上，依次設(shè)置3盞交通信號(hào)燈L1，L2和L3，L2和L1相距80 m，L3和L1相距120 m.每盞信號(hào)燈顯示綠色的時(shí)間都是20 s，顯示紅色的時(shí)間都是40 s.L1與L3同時(shí)顯示綠色.L2則在L1顯示紅色經(jīng)歷了10 s時(shí)開始顯示綠色(信號(hào)燈隨時(shí)間變化的圖像如圖4所示)，規(guī)定車輛到達(dá)信號(hào)燈時(shí)，信號(hào)燈顯示綠色才能通過(guò)，通過(guò)3盞信號(hào)燈經(jīng)歷的時(shí)間不得超過(guò)150 s.若一輛勻速向前行駛的自行車通過(guò)L1的時(shí)刻時(shí)L1已顯示綠色10 s的時(shí)刻，則此自行車能不停頓地通過(guò)3盞信號(hào)燈的最小速度和最大速度分別是多少？

圖4

解析：如果把紅綠燈當(dāng)作路口定時(shí)開啟、關(guān)閉的柵欄，車輛過(guò)路口變?yōu)榱藢?shí)實(shí)在在的相遇問(wèn)題.畫坐標(biāo)，縱軸為位移，橫軸為時(shí)間.以信號(hào)燈L1綠燈剛亮?xí)r刻為零時(shí)刻，把三個(gè)信號(hào)燈的信號(hào)圖轉(zhuǎn)化為位移圖像.在x1=0，x2=80 m，x3=120 m，處分別作三燈L1,L2,L3位移線，實(shí)線為綠燈狀態(tài)，虛線為紅燈狀態(tài)(圖5).根據(jù)題意，從10 s起作自行車的位移圖線，要同時(shí)交兩信號(hào)燈的實(shí)線段，經(jīng)歷時(shí)間又不得超過(guò)150 s，得到符合題意的兩條圖線，如圖5所示.

由圖得

【例5】圖6(a)是在高速公路上用超聲波測(cè)速儀測(cè)量車速的示意圖，測(cè)速儀器發(fā)出并接收超聲波脈沖信號(hào)，根據(jù)發(fā)出和接收到的信號(hào)間的時(shí)間差，測(cè)出被測(cè)物體的速度.圖6(b)中P1,P2是測(cè)速儀器發(fā)出的超聲波信號(hào)，n1,n2分別是P1,P2由汽車反射回來(lái)的信號(hào).設(shè)測(cè)速儀勻速掃描，P1,P2之間的時(shí)間間隔Δt=1.0 s，超聲波在空氣中傳播的速度是v聲=340 m/s，若汽車是勻速行駛的，則根據(jù)圖6(b)可知汽車的速度是多大.

圖6

解析：把超聲波視為彈性波包，碰撞汽車后原速率反彈.可視為是波與汽車的相遇問(wèn)題.以測(cè)速儀為參照，畫出汽車和超聲波的位移圖線，如圖6(c)所示.由圖(c)可以看出，汽車在收到兩個(gè)超聲波的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的位移為

代入數(shù)據(jù)得

Δx=510 m

相應(yīng)的時(shí)間間隔為

代入數(shù)據(jù)得

車速

v≈17.9 m/s

4 等效替換法

【例6】有兩個(gè)質(zhì)量相等的小球，在光滑的水平平直滑槽AB內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滑槽的兩端有固定的壁.兩球之間及球與壁之間的碰撞是完全彈性的，且碰撞時(shí)間忽略不計(jì).開始時(shí),兩球分別位于將滑槽三等分的兩個(gè)分點(diǎn)處，兩球運(yùn)動(dòng)方向相同，速度不等.求：

(1)若兩球之間的第二次碰撞是在滑槽中點(diǎn)迎面相碰，求兩球的初速度之比.

(2)若兩球之間的第6次碰撞是在滑槽中點(diǎn)迎面相碰，求兩球初速度之比，滿足要求的解有幾種.

解析：兩球等質(zhì)量進(jìn)行彈性碰撞，每次碰撞速度交換.故可等效為速度不等，在AB間來(lái)回運(yùn)動(dòng)互不干擾的隱形小球.畫出兩球來(lái)回運(yùn)動(dòng)的位移鋸齒線圖像，交點(diǎn)即為碰撞點(diǎn)，如圖7所示.

圖7

設(shè)A，B相距為3l，靠近A壁小球1速度為v1，靠近B壁小球2速度為v2.

(1)從位移圖線可以看出，兩個(gè)小球第二次在中點(diǎn)迎面相碰一定滿足

v1t=2l+1.5l

v2t=l+3l+1.5l

所以，速度比

(2)兩球最后一次在兩壁中間相碰，位移須滿足條件

v1t=2l+3nl+1.5l

v2t=l+3ml+1.5l

速度比

式中n,m分別為兩小球在A,B壁間來(lái)回碰撞次數(shù).

根據(jù)小球初速度分兩種情況討論：

1)若v2>v1，球2碰壁頻率高，m>n.球2第一次碰壁反彈后才會(huì)與球1相遇，以后每從一壁到另一壁與球1碰撞一次，當(dāng)?shù)?次兩球在中點(diǎn)迎面相碰時(shí)，對(duì)球2來(lái)說(shuō)前面已碰撞了5次，故m=5.要迎面碰撞，位移圖線斜率必須相反，也就n,m奇偶相異，故n只能取0,2,4.代入速度比公式得

2)若v1>v2，球1碰壁頻率高，n>m.球1第一次碰壁前已經(jīng)和球2發(fā)生過(guò)一次碰撞，第6次中點(diǎn)處迎面碰撞時(shí)，已在兩壁間來(lái)回了4次，所以n=4.因?yàn)榈? 次小球要迎面相碰，圖線交點(diǎn)處斜率符號(hào)須相反，所以，m只能取奇數(shù)，取m=1或3.代入速度比公式得