利用位移圖線巧解相遇難題

顧成綱

(上虞市城南中學 浙江 紹興 312300)

何海明

(紹興市第一中學 浙江 紹興 312000)

相遇問題一般涉及兩個甚至多個對象，利用圖像分析容易找到各運動量間的關系.我們知道速度-時間圖線的交點并非是運動質點相遇，但在同一坐標系下質點位移-時間圖線交點意義為質點相遇時刻.位移圖線的這一直觀性給解決相遇問題提供了其獨特的優勢.下面介紹幾種利用位移圖線解繁難相遇問題的幾種方法.

1 參照系變換法

【例1】某人劃船逆流而上.經過橋洞時，船上竹制漁竿不慎掉到河里，小船一直逆行到上游某處才發現，發現后便立即掉頭追趕，當他返航t=10 min追上竹竿，此時漁竿距橋洞x=1×103m，若此人劃行速率始終不變，不計小船調頭時間，試求河水的流速.

圖1

解析：取小船逆流而上劃行方向為正方向，以橋為參照并作為位移原點，畫出流水的位移圖線b.以流水為參照，畫出小船的位移圖線a.因為小船在流水中往返取物相對流水速率不變，位移圖線對稱，如圖1所示.追及漁桿時，漁桿在流水中已漂流了20 min時間.所以，流水速度為

2 曲直轉換法

【例2】甲、乙兩球從同一地點做豎直上拋運動，甲的初速度為2v0，乙的初速度為v0，試求乙比甲推遲多久拋出，兩球才能在空中相遇.

解析：拋體運動的位移-時間圖線是拋物線，如果我們設法消去重力加速度引起的影響，位移圖線由曲線變為直線.以自由落體運動物體做參照物就可實現曲直轉換.因為拋體運動上升時間和下降時間相等，將返回階段的位移圖線折回到時間軸t，更能反映出拋體運動的對稱特點，使問題變得更加直觀.畫出甲、乙兩球相遇的兩種臨界情況(圖2).由圖2可直觀看出，要使兩球空中相遇，乙球比甲球推遲拋出時間范圍

圖2

【例3】一個小孩仰躺在地上，手持玩具手槍豎直向上，朝天連續開槍，子彈射出槍口的速度為30 m/s，每隔1 s發射一顆子彈，假設發射的子彈在空中不發生碰撞.試問：對于第一顆子彈，在空中可遇到多少顆子彈從它旁邊擦過(不計空氣阻力，g取10 m/s2)？

解析：因為重力加速度對每一顆子彈都一樣，不考慮自由落體運動的影響，子彈做勻速上升運動.現仍用例題2的策略，將下降過程的圖線折回到時間軸一邊，每顆子彈的位移圖線變成依次錯位1 s的等腰三角形(圖3)，圖線的交點表示兩子彈相遇，共有5顆子彈在空中與第一顆子彈相遇.進一步考查圖線可以看出，第6顆及其后發射的子彈，在空中10顆子彈都能遇到.

圖3

3 虛實轉換法

【例4】在一條筆直的公路上，依次設置3盞交通信號燈L1，L2和L3，L2和L1相距80 m，L3和L1相距120 m.每盞信號燈顯示綠色的時間都是20 s，顯示紅色的時間都是40 s.L1與L3同時顯示綠色.L2則在L1顯示紅色經歷了10 s時開始顯示綠色(信號燈隨時間變化的圖像如圖4所示)，規定車輛到達信號燈時，信號燈顯示綠色才能通過，通過3盞信號燈經歷的時間不得超過150 s.若一輛勻速向前行駛的自行車通過L1的時刻時L1已顯示綠色10 s的時刻，則此自行車能不停頓地通過3盞信號燈的最小速度和最大速度分別是多少？

圖4

解析：如果把紅綠燈當作路口定時開啟、關閉的柵欄，車輛過路口變為了實實在在的相遇問題.畫坐標，縱軸為位移，橫軸為時間.以信號燈L1綠燈剛亮時刻為零時刻，把三個信號燈的信號圖轉化為位移圖像.在x1=0，x2=80 m，x3=120 m，處分別作三燈L1,L2,L3位移線，實線為綠燈狀態，虛線為紅燈狀態(圖5).根據題意，從10 s起作自行車的位移圖線，要同時交兩信號燈的實線段，經歷時間又不得超過150 s，得到符合題意的兩條圖線，如圖5所示.

由圖得

【例5】圖6(a)是在高速公路上用超聲波測速儀測量車速的示意圖，測速儀器發出并接收超聲波脈沖信號，根據發出和接收到的信號間的時間差，測出被測物體的速度.圖6(b)中P1,P2是測速儀器發出的超聲波信號，n1,n2分別是P1,P2由汽車反射回來的信號.設測速儀勻速掃描，P1,P2之間的時間間隔Δt=1.0 s，超聲波在空氣中傳播的速度是v聲=340 m/s，若汽車是勻速行駛的，則根據圖6(b)可知汽車的速度是多大.

圖6

解析：把超聲波視為彈性波包，碰撞汽車后原速率反彈.可視為是波與汽車的相遇問題.以測速儀為參照，畫出汽車和超聲波的位移圖線，如圖6(c)所示.由圖(c)可以看出，汽車在收到兩個超聲波的時間內產生的位移為

代入數據得

Δx=510 m

相應的時間間隔為

代入數據得

車速

v≈17.9 m/s

4 等效替換法

【例6】有兩個質量相等的小球，在光滑的水平平直滑槽AB內運動，滑槽的兩端有固定的壁.兩球之間及球與壁之間的碰撞是完全彈性的，且碰撞時間忽略不計.開始時,兩球分別位于將滑槽三等分的兩個分點處，兩球運動方向相同，速度不等.求：

(1)若兩球之間的第二次碰撞是在滑槽中點迎面相碰，求兩球的初速度之比.

(2)若兩球之間的第6次碰撞是在滑槽中點迎面相碰，求兩球初速度之比，滿足要求的解有幾種.

解析：兩球等質量進行彈性碰撞，每次碰撞速度交換.故可等效為速度不等，在AB間來回運動互不干擾的隱形小球.畫出兩球來回運動的位移鋸齒線圖像，交點即為碰撞點，如圖7所示.

圖7

設A，B相距為3l，靠近A壁小球1速度為v1，靠近B壁小球2速度為v2.

(1)從位移圖線可以看出，兩個小球第二次在中點迎面相碰一定滿足

v1t=2l+1.5l

v2t=l+3l+1.5l

所以，速度比

(2)兩球最后一次在兩壁中間相碰，位移須滿足條件

v1t=2l+3nl+1.5l

v2t=l+3ml+1.5l

速度比

式中n,m分別為兩小球在A,B壁間來回碰撞次數.

根據小球初速度分兩種情況討論：

1)若v2>v1，球2碰壁頻率高，m>n.球2第一次碰壁反彈后才會與球1相遇，以后每從一壁到另一壁與球1碰撞一次，當第6次兩球在中點迎面相碰時，對球2來說前面已碰撞了5次，故m=5.要迎面碰撞，位移圖線斜率必須相反，也就n,m奇偶相異，故n只能取0,2,4.代入速度比公式得

2)若v1>v2，球1碰壁頻率高，n>m.球1第一次碰壁前已經和球2發生過一次碰撞，第6次中點處迎面碰撞時，已在兩壁間來回了4次，所以n=4.因為第6 次小球要迎面相碰，圖線交點處斜率符號須相反，所以，m只能取奇數，取m=1或3.代入速度比公式得