應用MATLAB研究彈簧擺的動力學行為

蔡亮

(南京市第十二中學 江蘇 南京 210011)

1 問題呈現

關于中學物理中彈簧擺模型動力學行為的研究，受到同行的普遍關注.文獻[1]中作者從正確建立物理情境(圖像)的角度對兩道關于守恒問題的習題進行了深入的分析，而文獻[2]的作者認為文[1]的作者對例1的分析與解是值得商榷的.兩文爭論的焦點題目現呈現如下.

圖1

對于本題的解題思路文獻[2]給出了合理的解釋，在此不做復述.下面將深入地探討該類問題情境下小球的運動情況到底怎么樣.

2 動力學方程

建立如圖1所示的直角坐標系，并對小球進行受力分析，可以得到兩個方向上的動力學方程，設彈簧原長為l0，l為形變后的長度.

而

寫成微分方程形式，并消去參數θ后得到

方程兩邊同時除以質量m后得到

這是一個二階微分方程組，為便于進行數值計算，需進行降階處理，可以得到4個一階微分方程構成的微分方程組，而且是自治的，如下所示.

說明：在以下的數值模擬中(Matlab 7.0)，我們取l0=1，g=9.8，初始條件x1=1，x2=0，x3=0，x4=0，研究小球的動力學行為隨參數κ0的變化情況(實際上取不同的彈簧原長，動力學行為也是不一樣的).

3 動力學圖像

圖2 不同參數κ0對應的小球的運動軌跡圖及相應空間圖

4 小結

參考文獻

1 薛永紅，姜建成.莫要輕視守恒問題中的物理圖像.中學物理，2010(6)

2 許文.錯在哪里？物理教師，2011(1)