2011年高考山東理綜卷第22題的定量求解

孔慶國

(大慶實驗中學 黑龍江 大慶 163316)

偶又看到2011年山東理綜試題選擇第22題，查了多種資料，關于該題的D選項正確的理由都是定性說明：棒c出磁場后，只有導體棒d切割磁感線，此時,d的速度大于進磁場時的速度，d受到安培力作用做減速運動，動能減小，d出磁場后,動能隨下落高度的增加而均勻增大，故選項C錯誤，D正確．這實在不能令人信服，為什么棒d出磁場前一直減速沒有說清楚,實際上,有可能棒d在出磁場前已經減速到勻速了.現用微元法加以定量論證D選項的正確性.

【原題】如圖1所示，兩固定的豎直光滑金屬導軌足夠長且電阻不計．兩質量、長度均相同的導體棒c和d，置于邊界水平的勻強磁場上方同一高度h處．磁場寬為3h，方向與導軌平面垂直．先由靜止釋放c，c剛進入磁場即勻速運動，此時再由靜止釋放d，兩導體棒與導軌始終保持良好接觸．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的動能，xc,xd分別表示c,d相對釋放點的位移．選項中正確的是

圖1

解析：設棒c剛進入磁場速度為v1，棒c從開始到進入磁場過程中機械能守恒，所以有

(1)

棒c剛進入磁場勻速，合力為零，由平衡條件可知

可得

(2)

由于棒d下落時離磁場上邊界也為h,在磁場外只受重力，所以，棒d到磁場上邊界的速度也是v1.此過程棒c以v1勻速，所以,當棒d剛進入磁場時，棒c向下運動的總距離為3h.兩棒都進入磁場后，因速度相同，回路沒有感應電流,棒c,d都只受重力，兩棒再向下運動距離h后，棒c出磁場.從棒d下落到棒c出磁場，棒d只受重力，下落總距離為2h，因此,棒c剛出磁場時棒d的速度v2為

(3)

棒c剛出磁場以后，由于v2>v1,棒d所受安培力大于重力，棒d減速；棒d出磁場前某時刻的速度減為v,此時，棒d的加速度為

方向向上.

棒d減速階段，任意Δt時間內的速度變化為

Δv=aΔt

所以,棒d減速階段速度變化

(4)

式中vt為棒d出磁場時的速度.

設棒c剛出磁場到棒d剛出磁場的時間為t, 由式(2)、(4)可知

(5)

圖2

由于棒d進入磁場后，做加速度逐漸減小的減速運動，速度-時間圖像如圖2，根據平均速度公式和速度-時間圖像可知

(6)

由式(5)、(6)可知

(7)

由式(1)、(7)可知

解不等式得

即

所以,棒d在由2h向下運動4h的過程中，安培力始終大于重力，棒d一直減速，動能減小，棒d出磁場后動能隨下落高度的增加而均勻增大，故選項C錯誤，選項D正確．