對(duì)小球是否會(huì)脫離軌道類問(wèn)題的探討

魏明遜

(昆明市第三中學(xué) 云南 昆明 650011)

趙堅(jiān)

(昆明市五華區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校、五華區(qū)教育科學(xué)研究中心 云南 昆明 650031)

高中物理教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到一類討論沿光滑曲面由靜止自由滑下的小球在下滑過(guò)程中是否會(huì)脫離軌道的問(wèn)題.如固定在地面上半徑為R的光滑半圓柱面，一小球無(wú)初速?gòu)捻旤c(diǎn)自由滑下，求小球脫離光滑半圓柱面的位置.教學(xué)中，有的優(yōu)秀學(xué)生提出，若將軌道面變換為半橢圓柱面、光滑拋物柱面、光滑雙曲柱面，其情況又將如何？為此，下面本文一一進(jìn)行探討，供大家教學(xué)中參考.

1 光滑半圓柱面

如圖1所示，固定在地面上半徑為R的光滑半圓柱面，其頂點(diǎn)有一小球無(wú)初速滑下，求小球脫離光滑半圓柱面的位置.

分析：小球不能一直沿半圓柱面滑到B處，而是在某處P時(shí)脫離柱面做斜拋運(yùn)動(dòng).

方法1：如圖1所示，設(shè)OP與豎直方向成θ角，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，光滑半圓柱面對(duì)小球的支持力N= 0.

圖1

由向心力公式得

(1)

又由機(jī)械能守恒得

(2)

解式(1)、(2)得

圖2

方法2：用函數(shù)關(guān)系判斷，如圖2所示，建立坐標(biāo)系.

已知圓方程為

x2+(y-r)2=r2

這樣建立坐標(biāo)系目的是當(dāng)x=0時(shí)，y=0，速度等于零，與物理情境相對(duì)應(yīng).設(shè)小球下滑中經(jīng)P點(diǎn)時(shí)，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對(duì)上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖3所示，可以看出vx不是單調(diào)變化，有極大值，換言之，小球在下滑過(guò)程中會(huì)脫離圓軌道.

圖3 vx-x關(guān)系圖像

對(duì)vx求導(dǎo)，求極值

令g=10，r=1，可得

x≈0.745=rsinθ

亦即小球在此處脫離.利用數(shù)學(xué)公式

sin2θ+cos2θ=1

令r=1，計(jì)算得

與第一種方法所得結(jié)論相同.

事實(shí)上，雖然方法2是從數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系角度來(lái)進(jìn)行判斷，但這種方法實(shí)質(zhì)上是基于下面的物理事實(shí).現(xiàn)在此僅就光滑半圓柱面情況作出分析.如圖4所示，建立直角坐標(biāo)系.

圖4

由牛頓第二定律有

x方向

2 光滑拋物柱面

如圖5所示，建立坐標(biāo)系，拋物線方程為y=ax2(a>0)，一小球(視為質(zhì)點(diǎn))自坐標(biāo)原點(diǎn)O，從靜止開(kāi)始沿光滑拋物線軌道下滑.試問(wèn)小球下滑中是否會(huì)脫離軌道?

圖5

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點(diǎn)時(shí)，速度為

對(duì)y=ax2求導(dǎo),得

tanα=2ax

故

利用Microsoft Mathematics4.0對(duì)上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖6所示，可以看出,vx隨θ單調(diào)增，無(wú)極大值，故小球在下滑過(guò)程中不會(huì)脫離拋物線軌道.

圖6

3 光滑半橢圓柱面

(1)焦點(diǎn)在x軸上

圖7

如圖7所示，建立坐標(biāo)系，橢圓方程為

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點(diǎn)時(shí)，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對(duì)上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖8曲線1所示，可以看出vx不是單調(diào)變化，有極大值，換言之，小球在下滑過(guò)程中會(huì)脫離焦點(diǎn)在x軸上的半橢圓柱面.

圖8

令g=10，a=2，b=1，可得

x≈1.704

小球在此處脫離，與圖8曲線1相對(duì)應(yīng).

(2)焦點(diǎn)在y軸上

如圖9所示，建立坐標(biāo)系.

圖9

橢圓方程為

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點(diǎn)時(shí)，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對(duì)上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖8曲線2所示，可以看出vx不是單調(diào)變化，有極大值，也就是小球在下滑過(guò)程中會(huì)脫離焦點(diǎn)在y軸上的半橢圓柱面軌道.

令g=10，a=2，b=1，可得x≈0.592，小球在此處脫離，與圖8曲線2相對(duì)應(yīng).

4 光滑半雙曲柱面

如圖10所示，建立坐標(biāo)系.

圖10

焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程

設(shè)小球下滑中經(jīng)P點(diǎn)時(shí)，速度為

故

利用Microsoft Mathematics4.0對(duì)上式作圖，得出函數(shù)關(guān)系如圖11所示，可以看出vx是單調(diào)變化，換言之，小球在下滑過(guò)程中不會(huì)脫離焦點(diǎn)在y軸上的半雙曲柱面軌道.

圖11

5 小結(jié)

綜上所述，一小球無(wú)初速?gòu)墓饣雸A柱面、光滑半橢圓柱面、光滑拋物柱面、光滑雙曲柱面滑下，在光滑拋物柱面、光滑雙曲柱面滑下不會(huì)脫離軌道，而從光滑半圓柱面、光滑半橢圓柱面滑下會(huì)脫離軌道.我們認(rèn)為，這樣的探討既有利于培養(yǎng)學(xué)生思維能力，開(kāi)闊學(xué)生知識(shí)面,同時(shí)，也有利于命題者在命制試題時(shí)把握命題的深度及范圍，而不至于出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤.