均質球體在半圓形凹槽中的運動分析
——一維方向可自由移動的半圓形凹槽的情形

柳正偉 劉應開

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650092)

均質球體或圓柱體在固定的半圓形凹槽內的微振動問題常常在一些理論力學的教材[1～3]中出現.解決這類問題時，一般假設均質圓柱體或球體在固定的半圓形凹槽內做無滑滾動，用分析力學的方法導出其運動微分方程,然后求出微振動周期.如果均質圓柱體或球體在非固定的半圓形凹槽內運動，且其運動不是微振動，在計算中就會涉及到做無滑滾動的臨界角大小，振動周期公式為何形式等問題，本文對這些問題進行分析、計算和討論，以期給出完整、全面的結果.

1 均質球體和半圓凹槽的運動微分方程

圖1 均質球體做無滑滾動的示意圖

圖2 均質球體的受力示意圖 圖3 半圓形凹槽受力示意圖

凹槽的重力m2g和水平面對凹槽的支持力是一對平衡力,未在圖中畫出.根據m2的受力情況和約束情況可知，凹槽m2只能在光滑水平面上做一維方向上的自由移動，以水平面為參考系，取水平向右為x軸的正方向，并設凹槽的加速度為am2x，由牛頓第二定律可得

m2am2x=FNsinθ-Ffcosθ

(1)

取半圓形凹槽為參考系，均質球體受慣性力為f*=-m1am2x作用，根據質心運動定理和繞質心軸的轉動定理可得

FN-m1gcosθ+m1am2xsinθ

(2)

-m1gsinθ-m1am2xcosθ+Ff

(3)

(4)

由于假設均質球體在半圓形凹槽內做無滑滾動，因此，有無滑滾動條件[4]

(5)

(6)

2 均質球體在非固定圓形凹槽內做無滑滾動的臨界角

(7)

(8)

(9)

(10)

FN=

(11)

均質球體在半圓形凹槽內做無滑滾動時，球體和凹槽面之間相互作用的摩擦力做功之和為零，所以，系統的機械能守恒，OC連線偏離豎直方向向右和向左的角度最大均為θ0，即θ0為角振幅.由于

考慮到在±θ0處，靜摩擦力|Ff|與正壓力FN及靜摩擦因數μ0應該滿足|Ff|≤μ0FN，因此由式(9)、(11)可得

于是有

(12)

設均質球體相對與半圓形凹槽面做無滑滾動的臨界角為θc，那么就有

3 均質球體的振動周期

3.1 振動周期的精確解

均質球體與非固定的半圓形凹槽組成的系統,在水平方向不受力的作用，系統的動量守恒，因此,在做無滑滾動的條件下，均質球體與半圓形凹槽所做的運動均為周期運動，且振動周期相同，可將均質球體的振動周期表述為整個系統的振動周期.

由于

令

于是有

(13)

那么,球體的振動周期就可以表示為

(14)

式(14)即為均質球體在一維方向可自由移動的半圓形凹槽內,做大角度振動時周期的精確公式，式中

(15)

3.2 m2?m1時均質球體的振動周期公式

當半圓形凹槽固定時，假設均質球體在半圓形凹槽內做無滑滾動，用分析力學的方法,導出均質球體的運動微分方程為

解方程可得均質球體做大角振動的振動周期T為

(16)

其中

當m2?m1，k′=0，由式(14)可以得到

(17)

可見式(16)、(17)完全一樣，此時積分為第一類橢圓積分，可通過查橢圓積分表求出周期.即當m2?m1時，均質球體的振動周期回歸到了半圓形凹槽固定的情況下球體的振動周期.從而,驗證了均質球體在一維方向可自由移動的半圓形凹槽內做大角度振動的振動周期精確公式(14)的正確性.

過函數曲線兩端點作直線 (圖4中虛線)，設所作直線的縱坐標為r(φ,θ0)，則

(18)

圖4 f(φ,k)和r(φ,θ0)與φ的關系曲線圖

根據分析，用r(φ,θ0)代替f(φ,k)，那么,由式(14)可以得

將ω0,a,b的定義式代入上式整理可以得

(19)

表1 振動周期精確解與近似解相對誤差分析 =1

過函數曲線兩端點作直線 (圖5中虛線)，設所作直線的縱坐標為r′(φ,θ0)，則

圖5 f(φ,k)和r(φ,θ0)與φ的關系曲線圖

(20)

將ω0,a′,b′的定義式代入上式整理得

(21)

(22)

可見式(22)、(15)完全相同.

表2 振動周期精確解與近似解相對誤差分析 =100

4 結論

用動力學的方法建立了均質球體與一維方向可自由移動的半圓形凹槽組成的系統的運動微分方程,并考慮均質球體從θ0靜止釋放時，靜摩擦力|Ff|與正壓力FN及靜摩擦因數μ0必須滿足|Ff|≤μ0FN，從而得到均質球體在半圓形凹槽中無滑滾動的臨界角θc.

參考文獻

1 周衍柏.理論力學(第二版).北京：高等教育出版社，1986.366

2 梁昆淼.理論力學(下冊).北京:人民教育出版社,1980.324

3 肖士珣. 理論力學(第二版) . 北京:高等教育出版社，1983.388

4 梁昆淼,俞超,邱樹業. 力學討論 .成都:四川教育出版社,1987.529

5 何勤,謝秉川.均質圓柱體在非固定半圓形柱面內的振動周期.大學物理，2007,26(11)：29～33

6 李慧娟.質點沿可自由移動的光滑凹槽的運動分析.大學物理,2007,26(7)：18～20