關于公式W=Fs中s物理意義的理解

胡雙根 劉燕

(新余市第四中學 江西 新余 338031)

1 提出問題

在文獻[1]中，談了這樣一個問題，即“公式W=Fs中s物理意義的再思考”，筆者認為該文有三方面不妥.

(1)文中以例1,例2說明對形變物體而言s應指與力接觸的那部分物體沿力方向上的位移，而不是物體重心的位移.但在例5中，繩拉人的拉力F做功卻把s理解為人(人作剛體模型)與m1作系統共同移動的位移，實際上，人拉m2運動時，人必須要變形，不能看成剛體，按文獻[1]對例1和例2的理解,繩拉人的拉力F做功的s應該是繩頭接觸的手那部分位移，這位移與m2的位移相等，即為s2，而不是s1，這是自相矛盾的.

(2)例3和例4中沒有回答為什么木板、繩不能看成質點，而滑塊可看成質點.

(3)全文從三個方面來說明對s的思考，筆者認為顯得零亂，無章可循.

筆者利用普通物理學對功的定義式，并結合多年的教學實踐，認為W=Fscosα中的“s”應理解為“力F作用的質點(質元)的位移”.利用這種一般性的規律可以把文獻[1]中的三種歸類統一協調起來.

2 中學教材上稱“s”為“物體在力的方向上發生的位移”有它的局限性

高中階段研究的力學問題，如受力分析，利用運動學、動力學處理問題時，都可以把物體受的力移到重心上，這種定勢思維自然會遷移到力做功的理解，即“s”說成“物體在力的方向上的位移”，這些知識常常局限于做平動運動的物體.但是，對于一些非平動的物體(如滾動)、變形的物體，把“功”和“動能定理”作為具有普遍意義討論，就不能局限于特定的平動，它已超出平動范疇，所以，“s”為“物體在力的方向上發生位移”則無意義.

文獻[1]在處理例1和例2時寫道，“s應指物體與力接觸的那一部分的沿力的方向上的位移，不是物體重心的位移.”這說明作者已意識到用籠統的“物體的位移”的不足，可惜作者沒將這個結論應用到例3，例4，例5作一般性的規律討論.實際上，作者的這個結論就是本文中物體上受力作用的質元(也就是質點)的位移.當然，力作用點的“轉移”與力所作用的質點(質元)的“位移”是有區分的，對這一點，該文在例3和例4中沒有分析透徹.

3 從質點動能定理的推導過程看功的定義式

利用牛頓第二定律，對質點有

兩邊點乘位移元dr可得

于是

(1)

這就是質點動能定理，力的元功等于質點的動能的元增量.

設由m1,m2,…,mn的質元組成一個物體或系統，對每個質元都可寫出動能定理式(1)，把它們累加，即可得出物體或系統的動能定理

(2)

(3)

式(3)中dri應該也是力Fi作用的質點(質元)i的位移.該式對平動剛體各個質元的位移dri是一樣的，對于非平動或變形物體dri可能不同.

式(2)中的功W包含系統內力的功和系統外力的功，系統內力的功又有保守內力的功和非保守內力的功.

4 對文獻[1]中5個例題重新解釋

【例1】 人以2 m/s速度從地板上跳起時刻，地板對人做功多少？

解析：文獻[1]利用s指物體與力接觸的那部分沿力的方向上的位移，而不是重心的位移，與本文中“s”為力的作用質點(質元)的位移不謀而合.即地板對人支持力作用在腳底，在腳底取一質元，盡管人起跳以2 m/s速度離開地面，人的重心升高了，但這個支持力的位移元dri總為零，故地板對人做功為零.人最終以2 m/s跳起，人獲得了動能，這個動能是怎么增加的呢？由式(2)可得，人體可由無窮多個質點元組成的，其中的功有外力的功和內力的功，外力的功為地面對人的支持力的功(為零)和重力的功.人從蹲下到跳起時，人體要變形，人體內力要做功，這個內力的功并不僅局限于力學范疇，它的產生往往是因物體系統具有內部結構和功能，由于自身功能，當各部分之間相對位置發生變化，產生力的作用.而力的作用質元在力的方向上有相對位移做功出現，無論是人體內，還是各類機器中(如機動車)，因內力的產生隨時間、位移的變化十分復雜，以至于通常難以用一定量的函數式來描述，所以,“內力功”具備功的因素卻難以從定量角度給出其表達式，它更多的是自身能量(如化學能、生物能等)與機械能間相互轉換，故人體獲得的2 m/s的速度增加的動能是由人體內力做功(生物能或化學能減少)和重力做功而獲得的.

【例2】質量為m的物塊放在光滑水平面上，輕繩通過光滑滑輪施加與水平方向成θ角、大小為F的力拉物塊，如圖1所示.在物塊前進位移s的過程中，外力F對物塊做的功等于

A．FsB．Fscosθ

C．Fs(1+cosθ) D．2Fs

圖1

解析：文獻[1]把上述裝置(繩、滑輪、物體)也看成變形物體，實際上沒有這個必要，只要找出力F作用的質點(質元)即可，這個質元就是繩頭.我們很容易得出其在力的方向上的位移為s′=s(1+cosθ)，故利用機械省力而不省功的原理得出外力F對繩頭做功等于對物體做功

W=Fs(1+cosθ)

【例3】如圖2所示，質量為M的長木板放在光滑水平面上，一質量為m的滑塊以某速度沿木板表面從A滑至B點，在木板上前進了L，而木板前進s；若滑塊與木板間動摩擦因數為μ，則摩擦力對滑塊、對木板分別做功為多少？

圖2

解析：文獻[1]認為滑塊m可看成質點，長木板M不能看成質點，并沒說明理由，顯得太抽象，難以理解.

摩擦力對滑塊m做功很明顯，即

W1=-μmg(s+L)

但作用于長木板的f滑的作用點不是長板上的確定點，只是隨滑塊m向右滑動，它在長木板上不斷變換位置，這正是說明力的作用點只在長木板上轉移，但力所作用的質點(滑塊m與長木板接觸的那部分質元)的元位移(dri≠0)在整個過程中累加之和為s,故摩擦力對長木板做功為

W2=μmgs

【例4】圖3中，用手握住一端固定于墻壁的繩并在繩上水平滑動位移s(用手擼繩子),繩上不同點依次充當摩擦力的受力點，求手對繩做的功.

圖3

解析：與例3分析一樣，不必認為繩子不能看成質點，只是手對繩的滑動摩擦力的作用點不是繩上的確定點，隨手向左而移動，正說明對繩的f滑作用點在繩子上轉移而f滑所作用的質點(手與繩接觸在繩上的那部分質元)的元位移dri恒為零.根據功的定義式(3)，f滑所做元功恒為零，總功當然也為零.

【例5】質量為m1，m2的兩物體靜止在光滑水平面上，質量為m的人站在m1上用恒力F拉拴在m2上的繩子，經一段時間后兩物體速度大小分別為v1和v2，位移分別為s1和s2；如圖4所示.則這段時間內此人所做功的大小等于

圖4

A．Fs

B．F(s1+s2)

解析：文獻[1]想“利用力對物體做功與物體對物體做功的區別”來解釋本問題，但從作者的解析中根本看不出這些思想，筆者對這一極易引起混亂的方法是不能茍同的.

其次，該文認為人拉繩時產生一對拉力，向右方向的拉力對m2做功為W2=Fs2，向左方向的拉力對人與m1做功為W1=Fs1.筆者認為人與繩之間的力可能是一對拉力(繩綁住手時)，也可能是一對靜摩擦力(手抓住繩)，向右對m2的力做功為W2=Fs2,為正功，但向左繩對手的作用力(力作用的質元在人手上)做的功為W1=-Fs2，為負功.因此，該文說明的向左的拉力對人與m1做功W1=Fs1是錯誤的，這是因為繩與人直接接觸的那一部分是繩頭和手，盡管人與m1向左移動了，但人的手與m2卻向右移動了，所以

W=W1+W2=Fs2+(-Fs2)=0

所以，選項B不正確.

從功能角度考慮可知，W2=Fs2為正功，使m2動能增加，W1=-Fs2為負功，使人與m1能量減少，這正吻合能量守恒，這一對內力不會改變系統的機械能.

那么，人做的功如何求解呢？本情形中，人一定要發生形變才能使m1,m2和人運動起來，它們增加的機械能是通過人體內力做功而得的，這個功也是人減少的生物能或化學能，所以人做的功就等于人與m1，m2增加的動能，即

故答案為選項D.

關于人做功的具體理解可參考本文例1的分析.因此，用力對物體做功與物體對物體做功的區別來解析本題根本沒有說服力.

總之，公式W=Fscosα中“s”應作普遍意義來定義，不能作特殊意義來理解，應按功的一般定義正確理解為“力所作用的質點(質元)的位移”.而功的一般定義式可以使動能定理有一個統一而簡單的表達式.

參考文獻

1 王長海，胡石玉，燕克儉.公式W=Fs中s物理意義的再思考.中學物理教學參考，2009(4)