彈性勢能零點選擇與彈性勢能表達式問題討論

張紅明

(北京師范大學附中 北京 100052)

新課標人教版高中《物理·必修2》第七章第5節“探究彈性勢能的表達式”說一說欄目,“在以上探究中我們規定，彈簧處于自然狀態下，也就是既不伸長也不縮短時的勢能為零勢能.能不能規定彈簧某一長度時的勢能為零勢能？說說你的想法.”[1～3]

仔細分析，上述觀點出現了一個不正確的表達式

1 彈性勢能零點的不同選擇對彈性勢能表達式的影響

1.1 彈性勢能的引入

(1)

圖1

可見，彈性力做功僅由彈簧的勁度系數κ和系統的初始位置和終了位置決定，而與系統經過的路徑無關，這表明,彈性力是保守力，從而可引入相關的勢能——彈性勢能.

在高中教材中，彈性勢能的引入是從現象中切入的，“發生彈性形變的物體能夠對外做功，因而,具有能量，把這種能量叫做彈性勢能.”這種方式沒有把勢能的特點揭示出來，可以說是教材的一種缺陷，這樣,必然導致學生在學習彈性勢能時先天不足.

1.2 彈性勢能及勢能差

保守力及其相關勢能的定義為保守力所做的功等于物體與該保守力相關勢能的減少量.

在圖1(b)中，若設物塊m在A與B時的彈性勢能分別為EpA和EpB，則由以上定義及式(1)應有

ΔEAB=EpA-EpB=WAB=

(2)

式中ΔEAB是物塊m在A和B兩位置時的彈性勢能差，這是一個確定的值，不會因為彈性勢能的零點選擇而改變.但當規定彈性勢能的零點位置不同時，系統的彈性勢能卻有不同的表達式.

1.3 彈性勢能零點的不同選擇對其表達式的影響

(1)當選擇彈簧的自由長度(不伸長亦不縮短)處系統的彈性勢能值為零時，由圖1(b)中A和B兩點為任意，便可以將A點選在原點O處，即有xA=0，這時EpA=EpO=0，于是由式(2)得

即

因為B點是任意的，可以去掉下標而有

(3)

該式即為選擇彈簧自由長度處為彈性勢能零點時，所具有的彈性勢能的一般表達式.

(2)當選擇彈性勢能零點在彈簧有一伸長量xA的A點(A點確定后，x即為一常量，我們用x0表示之，即xA=x0)時，有EpA=0，這時由式(2)得

由于B點是任意的，仍可去掉下標寫成

(4)

的形式，而只能是式(4)所表示的形式.

2 從彈簧振子的振動能量看零勢能點的選擇

高中物理教材在講述振幅的物理意義時，指出振幅是表示振動強弱的物理量.在講述簡諧振動的能量時，這樣寫道，“彈簧振子和單擺在振動過程中動能和勢能不斷地發生變化.在平衡位置，動能最大，勢能最小；在位移最大時，勢能最大，動能為零.在任意時刻動能和勢能的總和，就是振動系統的總機械能.振動系統的機械能跟振幅有關，振幅越大，機械能就越大.”

彈簧振子做簡諧振動的動力學方程為

其中

該方程的解為簡諧運動的運動學方程，可寫作

x=Acos(ωt+α)

關于振子的動能，應用質點的動能公式

得

圖2

如圖2，彈簧振子系統的彈簧質量可忽略，其原長為l.當掛上一物體m并靜止時，端點在O點處(這時彈簧有一伸長量x0，且κx0=mg).取O點為原點，向下為x軸正向建立坐標.當系統振動時，振幅為A(即最大位移為A),該時刻物體在c點，系統的彈性勢能表示式為：

(1)取彈簧自然長度為彈性勢能零點(即Epd=0)，物體在各位置時，系統的彈性勢能各為

這一系統的重力勢能同樣選取d點處為重力勢能零點時，各位置的重力勢能分別為

為與彈性勢能區別，這里E都帶撇.

當將彈性勢能、重力勢能的零點都選在彈簧原長位置時，各點的總勢能為

考慮到平衡時，有mg=κx0，代入以上各式得

從上式可知，當選擇了彈簧原長位置d為彈性勢能和重力勢能的零點后，豎直懸掛的彈簧振子在各點總勢能的表達式從形式上看不能寫成

(2)若選取平衡位置O點處為彈性勢能零點(EpO=0)，則物體在各位置時，彈性勢能的值可由計算彈性力的功而得

顯然兩種情況下，彈性勢能表達式是不一樣的.

這一系統的重力勢能在選取O點處為重力勢能零點時，各位置的重力勢能分別為

當將彈性勢能、重力勢能的零點都選在平衡位置時，各點的總勢能為

考慮到平衡時，有mg=κx0，代入以上各式得

據上述分析，似乎得出彈簧振子對零勢能點的選取有特殊的要求，其實不然.

取彈簧自然長度為彈性勢能零點(即Epd=0)，物體在各位置時，系統的彈性勢能各為

解得

將κx0=mg代入得

以豎直彈簧振子為例，將最低點的系統總勢能和平衡位置處系統總勢能相比較，增加的彈性勢能為

增加的重力勢能為

總的勢能增加為

此即振動的總能量.

3 物理學中關于勢能的一般性定義

參考文獻

1 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書.北京：人民教育出版社，2006

2 人民教育出版社物理室.全日制普通高級中學教科書.北京：人民教育出版社，2003

3 趙凱華,張維善.新概念高中物理讀本(第二冊).北京：人民教育出版社，2006

4 漆安慎,杜嬋英.普通物理教程·力學.北京：高等教育出版社，2001

5 張憲魁.物理科學方法教育.北京：科學出版社，2002