斜拋運動中射程問題的一般性討論與數值計算

琚 鑫

(北京市第十五中學 北京 100054)

岳凌月

(首都師范大學物理系 北京 100048)

王邦平

(首都師范大學附屬中學 北京 100048)

1 問題的提出

拋體運動是物理學中最基本、最重要的一種二維曲線運動之一.在地球表面附近不太大的范圍內，重力加速度g可以看成常量.如果在整個拋體運動過程中，速度也不很大的情況下，可以忽略空氣阻力，則拋體運動的水平分量與豎直分量相互獨立，使問題大大簡化.描述拋體運動的物理量主要有速度(分速度、合速度)、位移(分位移、合位移)和軌跡方程.

拋體運動的射程問題是個有趣的課題.對于初速度與末速度在同一水平面上的拋體運動而言，如文獻[1]所述，拋體所能達到的最遠點稱為射程(本文亦采用此定義)，記為xm，計算可得

但是，如果初速度與末速度不在同一水平面上，而是有一段高度差h，那么，此時的射程是多少？最大射程與初速度v0，出射角θ，高度差h之間的關系如何？這就是本文要討論的問題.

2 模型與理論推導

如圖1所示，在距離地面h處拋出一個物體(可看作質點)，其初速度為v0，與x軸夾角為θ.忽略空氣阻力，則拋體運動的水平分量與豎直分量相互獨立.在豎直方向上，物體做豎直上拋運動.在水平方向上，物體做勻速直線運動，由此可以得出物體的兩個分位移與時間t的關系，即運動方程為

圖1

消去時間參數t，即可得到軌跡方程

拋物線與x軸正半軸的交點坐標即為射程L，解方程為

由此，射程L的表達式為

(1)

3 數值計算與討論

我們研究射程L與初速度v0和高度差h的關系，觀察v0與h對L-θ曲線[2]的影響.

圖2

圖2顯示了在高度差h恒定的情況下，不同的初速度對射程L的影響.繪圖時，參數選取為

h=2mg=10m/s2

(1)初速度決定射程的大小.在出射角度θ一定的情況下，隨著初速度的增加(從5 m/s到8 m/s)，物體的射程L越來越大，且不同初速度下的L-θ曲線彼此不相交，也就是說，在出射點與落地點存在高度差的情況下，我們不能使出射角度相同、出射速度不同的兩個斜拋運動達到同樣的射程.

(2)射程存在最大值θC.在出射角θ小于某一個角度值θC時，射程隨著出射角θ的增加而增加，當出射角θ大于θC時，射程隨著出射角θ的增加而減小.

(3)最大射程依賴于θC.從圖2中可以看出，隨著v0的增加，射程取得最大值時對應的角度θC會向θ增大的方向移動.這與h=0時，最大射程與出射角無關的結論不同.

(4)當θ<θC時，射程隨θ的增加呈現較慢的增加，當θ>θC射程隨θ的增加呈現較快的衰減.

(5)當初速度v0較小時，θ在相當寬的一個區間內,對應的射程與最大射程相差不多.當初速度v0較大時，射程對θ的取值變得越來越敏感.

圖3

圖4

另一個有趣的問題是，當初速度和高度差的值給定后，能不能求出最大射程所對應的出射角θC.答案是肯定的.我們只需將式(1)對θ求導數既可得

令其等于零，就可求出相應的出射角θC，即解方程

(2)

表1 式(2)的數值解

從表中分析可知，在射程取得最大射程Lmax時，出射角θC與初速度v0近似滿足對數關系，即

θC=alnv0+b

其中a和b是待定系數，可由實驗測定.我們對此亦作了數值計算，其中a近似穩定在14.1左右，b隨h的變化較為明顯，近似滿足b∝h-1.

注：高度差h不可太大，否則質點的運動速度將較大，從而空氣阻力就不可忽略不計了.

參考文獻

1 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程·力學(第二版).北京：高等教育出版社，2004

2 Mathematica Demystified, Jim Hoste, McGraw-Hill, 2009