基于擴展的跳躍SV模型的全國社保基金波動研究

江紅莉，何建敏，莊亞明

（1.江蘇大學 財經學院，江蘇 鎮江 212013； 2.東南大學 經管學院，江蘇 南京 211189）＊

一、引 言

為了探索社?；鸨Ｖ翟鲋档那溃?000年黨中央、國務院決定建立“全國社會保障基金”，同時設立“全國社會保障基金理事會”（簡稱社?；饡?，負責管理運營全國社會保障基金（簡稱全國社?；穑０凑铡度珖鐣Ｕ匣鹜顿Y管理暫行辦法》的規定，社保基金會直接運作的社會保障基金的投資范圍限于銀行存款、在一級市場購買國債，其他投資需委托社會保障基金投資管理人管理和運作并委托社會保障基金托管人托管。2010年全國社保基金總額為23 886億元，近9成存入銀行，2011年7月CPI增幅已經達到了6.5%，幾乎是一年期利率的兩倍，全國社?；鹈媾R著巨大的貶值風險。在高通脹的背景下，如何實現全國社保基金的保值增值？是否能讓其大規模地進入金融市場？測度社保基金投資于金融市場的風險是回答這一問題的關鍵，而社?；鹗找媛实牟▌觿t是風險測度的關鍵。

資產收益波動在大量的金融實踐中扮演著關鍵性角色，它是資本資產定價、風險管理和投資組合理論的核心變量。ARCH（GARCH）模型和SV（Stochastic Volatility）模型是波動建模的常用模型，SV模型中的方差由一個不可觀測的隨機過程決定，因此，它被認為更加適合金融領域的實際研究［1，2］。金融市場經常受到外在因素（如重要消息或突發事件）的沖擊，資產收益率就會在短時間內出現大幅波動，即所謂的“跳躍”現象。Chib等（2002）提出了收益率方程中帶有協變量（covariate）的跳躍厚尾SV模型［3］。Berg等（2004）基于DIC準則比較了各種SV模型的建模效果，發現跳躍SV模型對實際數據擬合較好［4］。Nakajima（2009）和Kobayashi（2009）也在SV模型中加入了跳躍過程，以增強SV模型對于金融市場中突發事件的解釋能力［5，6］。Todorov（2011）研究了時變的跳躍SV模型，實證發現其建模效果優于非時變跳躍SV模型［7］。國內也有學者對跳躍SV模型進行了研究，周彥等（2007）研究了跳躍連續時間SV模型［8］；王春峰等（2009）分析了連續時間內，收益與波動過程存在相關無限活躍列維跳躍的隨機波動模型以及仿射跳躍擴散模型（AJD）［9］；姚寧和毛甜甜（2009）基于跳躍擴散模型研究了中國股市和期市風險關聯性［10］；朱慧明等（2010）提出了基于狀態空間的貝葉斯跳躍厚尾金融隨機波動模型［1，2］；高延巡等（2010）基于雙跳躍隨機波動模型研究了股市波動跳躍行為［11］。本文將進一步對跳躍的SV模型進行擴展，在傳統的跳躍SV模型的對數波動率方程中考慮協變量，設計該模型參數估計的MCMC算法，并基于該模型實證研究全國社?；鸩▌拥奶卣?。

二、跳躍SV的建模分析

（一）擴展的跳躍SV模型

傳統的跳躍SV模型為：

其中，yt為t時刻的觀測變量，表示第t日去掉均值后的收益；θt為潛在波動的對數形式；｛εt｝和｛ηt｝是相互獨立的序列，均不可觀測；μ為波動方程的常數項，表示對數波動率θt的均值；φ為波動的持續性參數，對于｜φ｜＜1，SV模型是協方差平穩的；τ為對數波動θt的標準差。

stqt表示一個跳躍過程，st表示跳躍幅度，qt表示跳躍的頻率。其中，qt服從參數為κ（0＜κ＜1）的伯努利分布b（1，κ），即qt＝1的概率為κ，qt＝0的概率為1－κ。根據Berg等（2004）［3］，跳躍幅度st滿足：ln（1＋st）～N（－δ2/2，δ2）。

全國社?；鹨晕型顿Y的模式在金融市場上投資，截至到2010年，共有16家基金管理公司和2家券商作為全國社?；鸬膰鴥韧顿Y管理人。這就意味著全國社?；鹜顿Y可能會受基金管理公司旗下基金產品投資的影響。因此，將經典的跳躍SV模型進行擴展，即在式（1.2）中增加這16家基金管理公司旗下基金產品收益率的對數ARCH項，以更準確地刻畫全國社保基金收益率的波動特征。

但是，這16家基金管理公司，每家基金管理公司旗下的產品種類、數量、投資風格都不太一樣，無法同時考慮每一家基金管理公司旗下的所有基金產品。基于簡單但不失代表性的原則，用基金重倉指數代表這16家基金管理公司旗下的基金產品，進而研究基金管理公司對全國社保基金收益率波動的影響。擴展的跳躍SV模型如下：

（二）擴展跳躍SV模型的MCMC算法

令γt＝ln（1＋st），得st＝exp（γt）－1，跳躍過程stqt可以替換為（exp（γt）－1）qt，于是式（2.1）和（2.2）可表示成：

如果對式（3）（觀測方程）進行移項，并在等式兩邊取對數，則有：

式（4）表示觀測方程，式（3）表示狀態方程。~yt為觀測變量，θt為不可觀測的狀態變量，ξt和ηt為相互獨立的隨機擾動項。將跳躍厚尾SV模型表示為線性狀態空間模型的形式，便于在狀態空間模型框架下利用Kalman濾波得到θ｛｝t的最小均方誤差無偏估計。

在實際應用中，yt表示金融資產的對數收益率，所以，跳躍幅度st是非常小的，通常用10－2來度量，由此，exp（γt）－1近似等于γt，stqt就可以表示為γtqt。此處，stqt的近似對于跳躍SV模型的MCMC算法設計是非常重要的，因為在對跳躍尺度參數δ進行抽樣時，可以由條件密度進行。

關于γt求積分，得到條件密度函數由此，從后驗分布＋exp（θt））中抽取δ變得可行，其中π（δ）表示δ的先驗分布。

通過式（3）和（4）構成的線性狀態空間模型以及stqt的近似處理，可以得到擴展跳躍SV模型參數估計的MCMC算法。具體步驟如下：

步驟6：用前一步迭代更新的樣本作為下一步迭代的初始值，重復步驟2～6。

（三）模型的選擇：貝葉斯因子

貝葉斯因子最初應用于假設檢驗范疇，后由Kass和Raftery等（1998）［12］引入到模型比較領域，它定義為兩個模型的邊緣似然函數之比，用公式表示如下：

其中，B12表示模型m1對模型m2的貝葉斯因子，f（y｜m1）和f（y｜m2）分別表示模型m1和m2模型 的邊緣似然函數。邊緣似然函數f（y｜m），m∈｛m1，m2｝，可以表示為：

其中，f（y｜Θm，m）表示參數為Θm的模型m的似然函數。由公式（6）可以看出，模型的邊緣似然函數考慮到了模型各個參數的所有取值的可能性，因此，利用貝葉斯因子進行模型比較，可以減弱先驗信息對于模型比較結果的影響，突出數據的重要性。

三、基于擴展跳躍SV模型的實證分析

（一）描述性統計分析

基于簡單但不失代表性的原則，用社保重倉指數（社保基金重倉股構成的指數）代表全國社?；鹜顿Y組合。考慮到數據的可獲取性，樣本時間范圍定為2006年9月29日～2011年6月1日，共1333組樣本數據。所有數據來源于大智慧的“板塊指數”。

將“社保重倉”每日的收盤價記為Pt，將社?；鸬趖日的收益率定義為：

收益率的標準差為0.0238。收益率偏度統計量為負（－0.5564），意味著社?；鹗找娲嬖谥陆档目赡?。峰度統計量、J－B檢驗統計量的值及其相伴概率，表明社保基金收益率不服從正態分布，具有“尖峰厚尾”的特征。ARCH效應檢驗表明收益率具有明顯的條件異方差性。Ljung－Box Q統計量表明社?；鸬氖找媛什淮嬖谧韵嚓P性，單位根ADF檢驗表明，收益率序列均不存在單位根，是平穩的。

（二）模型參數的貝葉斯估計

值得一提的是，實證數據為yt＝rt－rˉ，其中，rˉ為社保重倉對數收益率的均值。

1.先驗分布的設定。參數先驗分布的設置是貝葉斯統計分析的前提條件。在使用MCMC算法對擴展的跳躍SV模型進行參數估計之前，參考已有文獻設置模型參數的先驗分布［3，4］。參數μ表示潛變量｛θt｝的均值，β表示潛變量｛θt｝受外生變量（基金重倉波動）的影響程度，關于μ和β的先驗信息很少，因此，可以使用低信息先驗分布，將μ和β的先驗分布設置為：μ～N（0，100），β～N（0.001，100）；由于τ2表示潛變量｛θt｝的方差，因此，采用逆伽瑪分布作為τ2的共軛先驗分布，參數分別為2.5和0.025，即τ2～IGa（2.5，0.025），則先 驗 均 值 為0.01；因為φ的取值范圍的限定｜φ｜＜1，所以設φ＝2φ＊－1，且φ＊～Beta（20，1.5），則對應φ的先驗均值為0.86，這是波動持續性參數φ的一個比較典型的取值；跳躍概率參數κ的共軛先驗分布為貝塔分布，且κ～Beta（2，100），則κ的先驗均值為0.0196；由于跳躍尺度參數δ是一個正數，所以，將δ的先驗分布設置為對數正態分布，先驗均值為0.02，即δ～LN（－3.9，1）。

2.收斂性診斷。采用MCMC仿真方法和OPENBUGS軟件，同時產生兩條具有不同參數初始值的Markov鏈，便于檢驗擴展的跳躍SV模型各參數的樣本分布的收斂性。首先對每個參數進行20000次迭代，舍棄前10000個樣本進行模擬退火，再對保存下來的后10000個樣本進行分析。使用Gelman－Rubin收斂性診斷方法進行收斂性檢驗［13］，此方法通過GR統計量來判斷模型各參數的樣本分布是否已收斂到其后驗分布。利用保存下來的10000個樣本，從前往后，每50個樣本計算一次GR統計量并畫出線圖，則可得到跳躍厚尾SV模型各參數的樣本分布收斂圖，如圖1所示。擴展的跳躍SV模型各參數的R值，都隨著樣本量的增加而趨近于1，說明模型參數的樣本分布已經收斂到其后驗分布。

（三）參數估計結果分析

為了進行比較分析，同時基于傳統的跳躍SV模型、杠桿SV、SV－M、SV－T以及SV－N對社保重倉收益率建模。表1給出了6種SV模型的參數估計結果。

將擴展的跳躍SV模型、傳統的跳躍SV模型、杠桿SV模型、SV－M模型、SV－T模型、SV－N模型依次記為m1，m2，m3，m4，m5，m6，各SV模型的對數邊緣似然函數值及對數貝葉斯因子如表2所示。

從表2可知，對數貝葉斯因子lnB12、lnB13、lnB14、lnB15和lnB16都為正，并且都大于3，因此，根據Kass和Raftery（1995）［11］制定的基于對數貝葉斯因子進行模型比較的判定標準，可得擴展的跳躍SV模型建模效果相對最好。

圖1 社保重倉擴展的跳躍SV模型參數樣本分布收斂圖

表1 基金重倉基于各SV模型的MCMC參數估計結果

表2 各SV模型的對數邊緣似然函數值及對數貝葉斯因子

由表1可知，除了擴展的跳躍SV模型外，其余五個模型得到的波動持續性參數φ值都達到了0.92以上，基于擴展的跳躍SV模型得到的波動持續性參數值僅為0.1548，說明跳躍SV模型的對數波動率方程中增加基金重倉的對數ARCH項減少了社保重倉的波動持續性。

根據表1，比較社保重倉基于擴展的與傳統的跳躍SV模型建模的結果，發現前者的跳躍頻率高于后者，前者為0.0726，后者為0.0182，說明基金重倉的波動對社保重倉的跳躍具有正向作用，基金重倉的波動會加劇社保重倉的跳躍。一個可能的解釋是，社保基金由基金管理公司委托投資，出于安全性的考慮，社?；鹂赡軙呄蛴谕顿Y由基金管理公司重倉持有的股票，即基金重倉股，樣本期內社保重倉與基金重倉的線性相關系數達到了0.9292，也印證了這一點。

為了進行對比分析，基于傳統的與擴展的跳躍SV模型對基金重倉收益率建模（用擴展的跳躍SV模型對基金重倉建模時，波動率方程中的協變量為社保重倉，即式（2.1）和（2.2）中的yt與~xt位置互換）。表3給出了基金重倉基于傳統的與擴展的跳躍SV模型的參數估計結果，發現擴展的跳躍SV模型的跳躍頻率相對較高；為了方便對比，將社保重倉基于擴展的跳躍SV模型建模結果也放入表3中。

表3 基金重倉基于擴展的和傳統的跳躍 SV模型的MCMC參數估計結果

由表3可知，社保重倉的對數波動率θt的平均值μ略小于基金重倉，說明社保重倉的波動幅度略小于基金重倉，社保重倉的風險分散程度略強于基金重倉；社保重倉的波動持續性參數 值大于基金重倉的，說明社保重倉比基金重倉具有更強的波動持續性；比較對數波動率θt的標準差（波動噪音），發現基金重倉對數波動率θt的波動程度更大；比較社保重倉和基金重倉的跳躍頻率和跳躍幅度，發現前者的跳躍頻率和幅度均小于后者，可能的原因是，機構投資者（基金公司）對金融市場或經濟的突發重大事件更加敏感。

根據表3，比較社保重倉與基金重倉的跳躍頻率和跳躍幅度發現：基金重倉的跳躍頻率和幅度均強于社保重倉。進一步比較對數波動率θt的影響，對社?；鸲?，擴展的跳躍SV模型參數的貝葉斯估計值為0.5188，說明社保重倉的對數波動率與基金重倉的對數ARCH項正相關，基金重倉的對數ARCH項每增加1個百分點，社保重倉的對數波動率將增加0.5188個百分點；但是社?；鸬膶礎RCH項每增加一個百分點，基金重倉的對數波動率將增加0.4809個百分點，即社保重倉波動與基金重倉波動之間存在不對稱的作用，社保重倉波動對基金重倉波動的影響弱于基金重倉波動對社保重倉波動的影響。

四、小 結

以上對傳統的跳躍SV模型進行了擴展，提出了資產收益率的對數波動率方程中帶有協變量的跳躍SV模型，給出了模型參數估計的MCMC算法，并將擴展的跳躍SV模型用于分析社保重倉指數對數收益率的波動特征研究?；谪惾~斯因子比較發現，相對于SV－N、SV－T、SV－M、杠桿SV－N和傳統的跳躍SV－N五個模型，擴展的跳躍SV模型建模效果最好；擴展的跳躍SV模型有效地降低了波動持續性；比較社保重倉收益率基于擴展的與傳統的跳躍SV模型建模的結果，發現前者得到的跳躍頻率高于后者，但前者得到的跳躍幅度低于后者，用同樣的模型對基金重倉收益率建模，得到了同樣的結論；社保重倉波動對基金重倉波動的影響弱于基金重倉波動對社保重倉波動的影響。

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