挖掘隱含結論 提升解題能力

☉浙江省開化縣第二中學 曹嘉興

挖掘隱含結論 提升解題能力

☉浙江省開化縣第二中學 曹嘉興

美國著名數學家和數學教育家波利亞在《數學的發現》一書中提出了“教師十誡”，其中第八誡是：“要找出手邊題目中那些可能對解后來題目有用的特征——即設法揭示出隱含在眼前具體情形中的一般模型”.下面就從一道典型中考題的解法入手，談談如何挖掘隱含在題目的具體解法中的一般結論（不妨稱之為隱含結論），然后應用這些結論解決幾道與之相關的中考題，從而實現“抓住一道題，帶出一串題”.

題目 （2010年寧夏卷）如圖1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M.

（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；

（ 2）若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積.

圖1

從第（1）題的解法中不難看出，四邊形AEMF的形狀（正方形）依賴于△ABC的形狀（含45°角的銳角三角形），正方形AEMF的邊長就等于△ABC的邊BC上的高AD，這正是本題圖形的一個“有用的特征”.在第（2）題的解法中，BD和CD的具體數值（ 即BD=1，CD=2）并不重要，重要的是BD、CD與正方形AEMF的邊長之間的聯系，而關系式（*）中正隱含著它們之間的聯系，不考慮BD和CD的具體數值就可以從關系式（*）中挖掘出更一般的結論.事實上，在Rt△BMC中，由勾股定理得BM2＋CM2＝BC2，注意到BM=EM-BE=AD-BD，CM=FM-CF=AD-CD， 于是（ADBD）2＋（ AD-CD）2＝（ BD＋CD）2.

這就得到了含45°角的銳角三角形的一個基本性質.

性質1：在銳角△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，則AD2=AD·BC+BD·CD.

運用性質1我們可以十分簡潔地證明含45°角的銳角三角形的其他重要性質.

性質2：如圖2，在銳角△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，在△ABC的外部作∠BAE=∠CAD，∠CAF=∠BAD分別交直線BC于E、F，則BE2＋CF2=BC2.

如同等腰直角三角形一樣，含45°角的銳角三角形也是一類特殊的三角形.在近幾年的各地中考試題中經常出現以含45°角的銳角三角形為背景的試題，然而在現行教材中并沒有給出這類三角形的性質，致使不少同學感到難以應對.如果以上面所得到的這兩個基本性質作為解題的突破口，就可以使這類題目化難為易，迎刃而解.

分析：前兩個小題其實是為推導本文性質1作準備，設AD的長為x，根據本文性質1就容易列出方程，解之即得AD的長.

解：（ 1）連接OB和OC．因為OE⊥BC，所以BE＝CE．

點評：這道中考題與2010年寧夏卷基本相同，因而解題思路和方法有一定的類比性，但改為以圓為背景又有一定的新穎性.由此可以看出利用基本圖形改編試題是目前中考命題的常用方法.性質1雖然是解題的突破口，但作為解答題還需記住并寫出性質的詳細推理過程.

例3 （2011年咸寧卷）（1）如圖5，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數；

分析：從圖形上看，圖6的一個關鍵特征是45°角的頂點與等腰直角三角形的直角頂點重合，這正是本文性質2的圖形特征，因此只需將本題的條件轉化為性質2的條件即可得出所要的結論.

點評：第（2）小題的命題意圖是利用旋轉變換從圖6中推導出關系式BM2+ND2=MN2（即性質2），然后利用該關系式來解決第（3）小題，但初中學生對于利用圖形變換來解決幾何問題并不十分熟悉.事實上，不用旋轉變換直接利用性質1也可以推導出性質2.

目前，很多中考試題的設計大多采取學生比較熟悉的幾何圖形，以這些幾何圖形的基本性質為基礎，通過逐步探究，不斷加大難度來考查學生的分析問題和解決問題的能力.這類試題因其能充分體現《全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）》中所提出的“培養學生實踐探索能力”的要求而受到各地中考命題專家的青睞，往往是各地中考試卷中的“壓軸題”和“拉分題”.因此，在平時的解題教學中，培養學生從題目所給的幾何圖形和解法中挖掘出“隱含結論”的能力就顯得尤為重要.羅增儒教授在文［3］中給出的分析解題過程的一些操作，如：看是否可以用更一般的原理去代替現存的許多步驟，以提高整個解題的觀點和思維的層次；看是否可以用一個更特殊的技巧去代替現存的常規步驟，以體現解題的奇異美；看解題過程中哪一個是最實質的步驟，抓住這一步既可簡化過程又可迅速推廣.這些操作確實有助于我們從題目所給的幾何圖形和解法中挖掘出有用的“隱含結論”，進而改進解法并把它作為今后解決類似問題的突破口.總之，教會學生如何從題目所給的幾何圖形和解法中挖掘出“隱含結論”是教會學生“怎樣解題”的一個必要步驟，也是提升學生解題能力的一個有效方法.

1.［美］喬治·波利亞.數學的發現——對解題的理解、研究和講授［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學出版社，2006.

2.楊世明，王雪琴.數學發現的藝術——數學探索中的合情推理［M］.青島：中國海洋大學出版社，1998.

3.羅增儒.分析解題過程的操作［J］.中學數學教學參考（中旬刊），2009，5.

4.景敏，周靜.中考試題的類比推理能力考法分析［J］.中國數學教育（初中版），2010，4.

5.李天舟.淺談中考試題的編制方法 ［J］.中國數學教育（初中版），2012，10.FH