簡約而不簡單——一道選擇題揭秘與推廣

☉江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

簡約而不簡單
——一道選擇題揭秘與推廣

☉江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

在《圓》的復習測試時，筆者選用了2010年湖北省武漢市的一道中考題：

如圖1，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長為（ ）.

圖1

此題設計簡約、大方，但思維含量頗高，有一定的難度，測試的結果不盡如人意，鑒于這是一道選擇題，學生有可能猜出答案，筆者特意做了考后調查，發現答案正確而真正會解的學生更是鳳毛麟角，這引發了筆者的悉心思考.在講評試卷時，筆者給出了幾種解法，幫助學生揭開了這道選擇題神秘的面紗，也開闊了學生的解題視野，極好地訓練了學生的思維.

分析1：注意到∠ACD=45°、AC=6與CD在同一個三角形中，可先設法求出AD，再過點A作弦CD的垂線CH，構造直角三角形后利用勾股定理分別求出CH、DH的長從而求解.

評注：過點B作BH⊥CD于H，可同樣求解.

圖3

圖2

分析2：注意到CD是角平分線，可考慮利用“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這一性質添加輔助線求解.

分析3：注意到CD是角平分線，可以CD為一邊構造一個與△ACD全等的三角形求解.

評注：在CA的延長線上截取CE=CB，可同樣求解.

圖4

圖5

分析4：以CD為直角邊構造直角三角形直接求解.

評注：過點D作DE⊥DC交CB的延長線于點E，可同樣求解.

分析5：連接AD、BD，先求出四邊形ADBC的面積，再利用面積關系求解.

解法5：如圖6，連接AD、BD、OD，分別作AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，∠AOD=2∠ACD=90°.

圖6

圖7

分析6：設CD交AB于點E，有△ACE∽△DCB，△BCE∽△DCA，可分別列出含CD的比例式進而求解.

分析7：設CD交AB于點E，有△ACE∽△DCB，△BDE∽△CDB，可分別列出含CD的比例式進而求解.

圖8

圖9

分析8：設CD交AB于點E，構造直角三角形求出DE、CE，從而求解.

分析9：設CD交AB于點E，先構造直角三角形求出AE、CE，再利用相交弦定理求出DE后獲解.

評注：作∠B的平分線交CD于點E，作EF⊥BC于點F，可同樣求解.

圖10

圖11

分析10：過D作AB的平行線構造相似三角形，利用比例式求解.

解法10：如圖11，連接AD、BD，過D作AB的平行線DE交CB的延長線于點E，則∠BDE=∠ABD=∠ACD=∠ECD，∠E=∠CBA=∠CDA.

評注：過點D作AB的平行線DE交CA的延長線于點E，或者過點D作AB的平行線，可同樣求解.

分析11：作直徑CE，構造以CD為直角邊的直角三角形可直接求解.

解法11：如圖12，作直徑CE，連接DE并延長與CB的延長線交于點F，連接BE，因為CE是直徑，所以∠CDF=∠CBE=90°.

圖12

圖13

分析12：注意到CD是角平分線，可再作一個角的平分線得到△ACB的內心E，分別求出CE、DE，從而解決問題.

評注：作∠B的平分線交CD于點E，作EF⊥BC于點F，可同樣求解.

分析13：注意到CD是弦，可作出弦心距，利用垂徑定理、平行線等分線段定理求解.

解法13：如圖14，作OG⊥DC于G，AE⊥DC于E，BF⊥DC于F.

AE∥OG∥BF，OA=OB，根據平行線等分線段定理，得EG=FG.

圖14

圖15

感悟：解決問題是數學的核心思維活動，解決問題后的反思是數學教學活動不可或缺的延續.本文探討的這道選擇題，雖然答案可依稀“猜出”，但反思其過程卻有了上述意外的收獲.可見，從解題過程合理性質疑到整體思路總結，從一種解法到解法的多樣性，從原型到變式，通過這樣有序的解題過程的反思，能不斷豐富解決問題的方法和策略，形成解陌生問題的操作程序，理解數學解題思路分析中的“啟發性”和“頓悟性”，并能運用這些方法尋找解題思路，從而提高解題效率，促進分析問題、解決問題能力的發展。