思維要“逼”，探究才能進行到底——由一堂《二元一次方程組的圖像解法》的公開課說起

☉浙江省紹興縣稽東鎮中學 尉嗣侃

思維要“逼”，探究才能進行到底
——由一堂《二元一次方程組的圖像解法》的公開課說起

☉浙江省紹興縣稽東鎮中學 尉嗣侃

“數學是思維的體操”，可以鍛煉學生的思維能力，使其不斷地發展.《新課標》中明確指出數學在應用方面需要大力加強，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程.當今的數學課堂呈現出一種探究式教學的模式，但何為探究，如何探究，卻引人深思！

部分數學課堂常常讓學生討論、交流，或者動手畫一畫、量一量、折一折，教師便問學生有何發現，看似探究味兒十足，但學生其實是被動式的接受知識，數學的思維也未得到任何發展，并不能發現知識的規律和本質.筆者認為學生的思維在一定程度上不得不“逼”，一些簡單的問題或直觀的結論學生往往是憑借記憶或感覺而得出的，并不能領悟問題的實質，所以教師要在教學的過程中不停的追問，不停的讓學生感覺難以回答，于是學生才會積極在頭腦中搜索知識，這樣思維碰撞后才能“逼”出他們最深層的思想，才能將探究進行到底.

筆者就以曾上過的一節公開課《二元一次方程組的圖像解法》的4個片段入手與讀者交流，共同體會從課堂的點滴出發，“逼”出學生的思想，真正讓課堂充滿探究的意味兒.

一、問題情境

師：前面的課中我們學習了一次函數圖像的畫法，下面請同學們在平面直角坐標系中，畫出一次函數y=－x+3的圖像，并在直線上標出任意3個點，寫出相對應的坐標.

（學生動筆在學案上畫圖像，并寫出坐標，教師巡視時提醒學生記得在圖像旁標明函數的解析式）

生：我找的三個點的坐標為（ 0，3）、（ 1，2）、（ 3，0）.

師：請你將三個點的坐標換一種語言轉換成我們熟悉的形式，比如（ 0，3）可以轉換成當x=0時，y=3.

生：（ 1，2）、（ 3，0）分別可以轉換成當x=1時，y=2；當x=3時，y=0.

師：繼續換個角度來研究，式子y=－x+3其實大家十分熟悉，雖然它現在是一次函數，但我們對它早就了解，以前它叫什么？

生：二元一次方程.

師：那么當x=0時，y=3滿足于二元一次方程y=－x+3嗎？ 當x=1時，y=2呢？ 當x=3時，y=0呢？

生：均滿足.

師：對于不同的式子說不同的話，既然滿足于方程，那我們要寫成怎樣的形式？

師：直線y=－x+3上有多少個點？不會大家找的都是這三個點吧？有不同的點嗎？

（學生積極舉手，說出自己所找的點的坐標）

師：這些點寫成解的形式是方程y=－x+3的解嗎？

生：是的！

師：如果再找第4個、第5個點呢？你有什么發現？

分析：通過不停的追問，讓學生感受從特殊到一般的過程，讓學生的思維不斷完善，便很容易的歸納出：一次函數圖像上任意一點的坐標都是對應的二元一次方程的一組解.

二、建構活動

1.方程的解與函數的點的坐標對應

師：下面給同學們一個機會，寫出方程y=－x+3的任意3組解，并把這些解寫成點的坐標形式，并在平面直角坐標系內標出這些點.

（學生動手操作，并在平面直角坐標系內標出）

師：你發現這些點在哪兒？

生：點在直線上.

師：直線有很多條，到底在什么直線上？

生：直線y=－x+3上.

師：那如果我再找幾個解，寫成點的坐標形式，你覺得這些點還在這條直線上嗎？

生：是的！

師：老師突然感覺十分激動，以前二元一次方程的解是一組數，現在卻能看得見了，你有這樣的感覺嗎？你又有什么發現呢？

生：二元一次方程組的解在直線上.

師：這說法不對，解怎么可能在直線上？

生：那解寫成坐標在直線上！

師：坐標也不會在直線上呀？

（學生此時難以描述，有很多話想說但不知道如何組織語言，思考了幾秒鐘以后，回答出：以二元一次方程的解為坐標的點都在對應的一次函數的圖像上）

師：你能用一句通俗易懂的話來總結上面兩個發現嗎？

分析：這次的追問“逼”出了學生的思想，真正明白了對于不同的式子說不同的話，要注意語言的規范.學生在仔細思考后，組織了語言：二元一次方程的解與相對應的一次函數的圖像上的點的坐標一一對應.筆者迅速將其在黑板上記錄，上述一系列的“逼”，使學生的思維更上了一層，明白了點的坐標和方程的解對應、方程與函數的式子對應的雙重關系，這是學生的第一次思維被完整“逼”出.

2.二元一次方程組的解與函數圖像的交點的坐標對應

師：請再畫出y=x－5的圖像，為了節省紙張，我們畫在同一個平面直角坐標系內（也為后面的活動埋下伏筆）.

（學生畫好后，仿照之前的發現敘述一次對應關系）

師：既然y=x－5與y=－x+3的圖像在同一平面直角坐標系中，那我們就來研究一下，這兩條相交直線上有無數個點，老師覺得有一點很值得研究，你覺得呢？

生：交點很有研究價值.

師：價值在哪兒？

生：它是對應的方程組的解.

師：交點會是一個方程組的解嗎？交點不就是一個點嗎？

生（有些著急）：講錯了，是交點的坐標.

師：那為什么是呢？

生：因為交點既在y=x－5的圖像上，又在y=－x+3的圖像上，所以這個點是公共點，按照我們之前的發現，公共點的坐標對應公共解，也就是說這個點的坐標既符合方程y=x－5，又符合方程y=－x+3，也就是公共解，兩個方程的公共解就是方程組的解，所以這個交點的坐標就是對應的方程組的解.

（這次的追問讓學生說出了自己的完整想法，也讓結論更加清晰）

師：難道同一平面直角坐標系中，兩條直線一定有一個交點嗎？

分析：不停的“逼”，讓學生的思維主動“跳”了出來，對知識更加明確，于是回答：如果兩個一次函數的圖像有一個交點，即兩直線相交，那么二元一次方程組有唯一解，交點的坐標就是相對應的二元一次方程組的解；如果兩個一次函數的圖像有無數個交點，即兩直線重合，那么相對應的二元一次方程組有無數組解；如果兩個一次函數的圖像沒有交點，即兩直線平行，那么相對應的二元一次方程組無解.學生的這個回答比書本上的結論還要完整，也充分體現了數學結論是在不斷完善中形成的，筆者給予學生高度的贊賞，第二次的“逼”達到了完美的效果.

（筆者立馬出了幾個訓練題強化二元一次方程組的解與交點坐標對應的題）

三、數學化認識

師：看到這個二元一次方程組，你有什么想法？

生：除了可以利用加減消元法、代入消元法，還可以利用找交點的方法來解.

師：那你會怎么找交點來解呢？要經歷哪些步驟？

生：首先把方程形式轉換成函數形式，接著在同一平面直角坐標系內畫圖像并找到交點，最后轉換成解的形式.

師：很好，可以簡記為變函數、畫圖像、找交點、寫結論.

分析：這次的“逼”讓學生多了一種方法來解決二元一次方程組的解，并了解這種圖像解法的步驟，雖然學生體會到方程和函數之間的聯系，但并不了解為何要學習這節課，用意何在，為何要將一個簡單的題目復雜化.

（筆者針對這類題給予了一個例題，并板書格式、步驟）

四、能力拓展

1.以圖看解

圖1

師：你能解釋一下嗎？

生：通過上面的發現知道交點的坐標就是方程組的解.

師：我們上面講的是二元一次方程組的圖像解法，而這個圖像所表示的好像不是一次函數吧？那你又有什么發現呢？

生：如果兩個圖像有交點，那么交點的坐標就是對應的方程組的解，我們可以擴展為通過交點來求二元高次方程組的解了.

分析：這個“逼”讓學生逐漸意識到圖像解法是一個通法，“逼”學生說出可以用其解決二元高次方程組的解，但有的學生依然會用以前的方法解決本題，而有些學生已經逐步意識到圖像解法也是應該掌握的一個方法了.

2.以題作圖

（學生知道這節課在學圖像解法，但是仍然喜歡用自己原先學過的消元法，因為學生覺得消元法更簡單、更熟悉、更方便，于是將這個方程組消去y，得到含有x的方程：x5－x－1=0，看到這個方程，學生們徹底放棄，因為他們根本不會解，這正是筆者想要的結果，為筆者的下一個“逼”提供了幫助）

師：我相信大家肯定嘗試了原來的方法，你會解嗎？其實老師也不會，那我們該怎么辦呢？

生：用圖像法試試吧！

師：對于消元法，雖然有時候很簡單，但遇到不會解的方程你就無從下手了，而圖像人人都會畫，多找一些點圖像就會更精確，那我們用圖像法試試看.

（為了節省時間，筆者用幾何畫板展示了兩個函數的圖像，并清晰的找到了交點，雖然交點的坐標是近似數，但方法顯然是可行的）

分析：通過這次的“逼”，讓學生無計可施，終于在此時感受到今天的學習是有價值的，圖像解法也是一種學習過程中必不可少的方法.

（學生想都不想，看到五次方馬上開始動手畫圖像）

師：有人發現了什么嗎？

生：畫圖像來解決此題！

師：一定要畫圖像嗎？你用以前的方法看看.

（學生將這個方程組消去y，得到含有x的方程：x5=x，看到這個方程恍然大悟，很快解出了方程組，覺得又被老師欺騙了）

為了讓學生得到更加清晰的結果，筆者用幾何畫板展示了圖像并找到了交點，直觀的幾何畫板展示讓學生發現用圖像和消元法的結果是一樣的.

分析：通過這次的“逼”，學生清晰地意識到圖像解法是正確的方法，在遇到不會求解的二元高次方程組的時候利用圖像解法能體現其優勢，真正的學以致用，明白選對方法很重要.

上面幾個片段中，雖然沒有一處讓學生開展討論，但是處處滲透探究，從一節課的開始到一節課的結束都以問題為核心，不停根據學生的回答繼而追問，用一個又一個的問題“逼”學生展示自己，“逼”學生說出自己的最真實想法，不斷地使學生的知識內化，轉為生成經驗，也“逼”出了本節課的規律.所以無論何時，數學課堂不得不“逼”，這樣才能探數學之實質，究數學之本質，讓探究進行到底！