中外初中數學教材中“負負得正”內容的比較研究

☉新疆石河子第五中學 謝紅英

☉石河子大學師范學院 劉 超

中外初中數學教材中“負負得正”內容的比較研究

☉新疆石河子第五中學 謝紅英

☉石河子大學師范學院 劉 超

“負負得正”在初中數學教材中是數與代數內容的重點，是學生學習數系擴充的關鍵，對培養學生數感、運算能力起著關鍵作用.“負負得正”的教學，教師應該重視內容呈現的過程性，正如著名的水稻專家袁隆平院士曾說：“我最喜歡外語、地理、化學，最不喜歡數學，因為在學正負數的時候，我搞不清為什么負負得正，就去問老師，老師說：‘你記住就是’，學幾何時對一個定理有疑議去問，還是一樣的回答.我由此得出結論：數學不講道理，于是不再理會，學數學興趣一直不大，成績不好.”從他這段話中可以看出，我們在講解有理數運算法則的引入時，如果不講原因，甚至只簡單地讓學生“記住就行”，那會對剛剛系統接觸數學的七年級學生今后的學習產生多么大的不良影響!本文擬對我國8個、新加坡2個、美國加州2個、德國1個共13個不同版本的初中數學教材中的“負負得正”內容進行比較分析，來反映此內容的不同呈現方式，以及在引導教學方式的轉變上體現出共性與特色，有利于學生更好地理解和掌握本節內容的知識.

本研究中，初中教材選取北師版［1］、人教版（原來）、人教版［2］、華師版［3］、蘇教版［4］、浙教版［5］、江蘇1971年版［6］、北京1969年版［7］、新加坡版（原來）［8］、新加坡版［9］、美國加州1、美國加州3［10］及德國版［11］等13個版本.從內容的呈現方式和數學認知水平兩個維度進行比較.

一、呈現方式的比較

1.教材呈現方式使用的模型刻畫

《義務教育數學課程標準（2011版）》在闡述數學課程內容特征時，強調“它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學方法”，課程內容的組織“要呈現過程，處理好過程與結果的關系”，因此要求教材內容的呈現應體現過程性［12］.除江蘇1971版是直接給出正負數乘除運算法則外，其余12個版本教材的內容呈現都體現了過程性，關注了學生對知識的認知過程.就其內容呈現的不同方式，歸納概括為以下幾個模型［13］：

①歸納模型：（-3）×3=-9；

從而（-3）×（-1）=______.

通過觀察、探索、分析、推理、歸納得到當第二個因數依次減少為1時，積增加3，進而從符號和絕對值兩個方面總結得到法則.在此過程中，學生不僅掌握了知識，還發展了合情推理的能力，探究意識也得到了強化.

②分配律模型：（-3）×（-2）=（-3）×（0-2）=（-3）×0-［（-3）×2］=0-（-6）=6.

即引入負數后，“保持”運算律從而得到法則，這與數學內部發展相矛盾，運算應先規定法則再驗證運算律是否成立.

③相反數模型：3×2=3+3=6；（-3）×2=（-3）+（-3）=-6.

由此得結論：將一個因數換成它的相反數，所得乘積就是原來積的相反數.

所以（-3）×（-2）=6.

經歷了特殊——一般——特殊，得到法則的過程滲透了歸納推理和演繹推理，這對提高學生的邏輯思維能力大有益處.

④兩組具有相反意義的量的模型：今天氣溫記為0℃，每天下降3℃（上升為正，下降為負），昨天記為-1，前天記為-2（今天之前為負，之后為正），（-3）×（-2）就是前天的氣溫，即6.因此（-3）×（-2）=6.

水位變化，小蟲爬，蝸牛爬皆可視為此模型.

用學生感興趣的生活情境激發學生的學習熱情，但在實際問題中引入兩組具有相反意義的量并且產生運算關系，學生理解起來比較困難.

⑤數軸模型：規定數軸的正方向為東，負方向為西.一個人在數軸的原點處，-2看作向西運動2米，（-3）×（-2）看作沿反方向（東）運動2次，結果向東運動了6米，所以（-3）×（-2）=6.

此模型結合了相反意義的量的實際情況，自然且易于理解，能使乘法法則的學習與加法相一致，做到了知識的順應，有利于學生知識的架構.

說明：這些模型的作用不是推導、證明法則，只是對法則的合理性進行有效的說明，滲透數系擴充的兩條主要途徑［14］（元素添加和等勢抽象），為數學的學習奠定良好的思維基礎.

2.教材呈現方式使用的模型比較分析

12個版本教材中，有10個版本使用單一模型呈現，2個版本使用兩種模型呈現.

使用單一模型呈現的情況如表1：

表1

補充描述：相反數模型中，人教版（原）以水位升降作為生活情境，華師版以小蟲爬作為生活情境；兩組具有相反意義的量的模型中，人教版以蝸牛爬作為生活情境，蘇教版、浙教版以水位升降作為生活情境.

使用兩種模型呈現的情況如表2：

表2

補充描述：新加坡版（原來）先用歸納模型得到猜想，再用相反數模型進行驗證，而美國加州3版本先用相反數模型得到猜想，再用歸納模型進行驗證.

3.教材呈現方式使用的情境比較分析

數學教學中的問題情境有數學情境和生活情境，由此12個版本教材使用情境情況如表3：

表3

不難看出，國外教材都使用了數學情境，用數學的視角、數學的思維解決數學問題，更關注數學的本質，生活情境只作為引入而已，而我國教材多數用生活情境，利用生活經驗給出合理解釋，幫助學生理解法則的合理性即可.

由以上比較得出：課改后的所有教材都關注內容呈現的過程性，且使用的模型和問題情境呈多樣化，關注學生對知識的認知過程，在引導教學方式的轉變上體現出共性與特色.

二、認知水平的比較

顧泠沅等通過“青浦實驗”和相關理論研究將數學認知水平分為4個層次［15］：水平1：計算——操作性記憶水平；水平2：概念——概念性記憶水平；水平3：領會——理解性記憶水平；水平4：分析——探究性理解水平；在這4個層次中，水平1、2為較低認知水平，水平3、4為較高認知水平.

本文根據學生學習“負負得正”法則所需要達到的數學認知水平層次，對此內容的數學認知水平層次作出如下界定：

水平1：計算——操作性記憶水平；該層次的認知水平只需學生記住“負負得正”，不需要理解；只體驗解決問題的過程.

水平2：概念——概念性記憶水平；該層次的認知水平要求學生通過相關模型的呈現能夠接受“負負得正”的事實；體驗簡單分析、解決問題的過程.

水平3：領會——理解性記憶水平；該層次的認知水平要求學生通過相關模型的呈現順利接受“負負得正”的事實，并能用自己的語言進行說明；體驗分析問題、解決問題的過程.

水平4：分析——探究性理解水平；該層次的認知水平需要學生理解算理，并能構建適當的模型進行說明；學生在探究的過程中完整地體驗發現、提出、分析和解決問題的過程.

各版本教材需要學生達到的數學認知水平層次如表4.

表4

由此標準來看這13個版本的教材，可以發現，有5個版本對學生的要求是低認知水平，8個是高認知水平.如：使用歸納模型和相反數模型的幾個版本教材，均從觀察和問題出發，引導學生發現規律，進而歸納概括解決問題，這體現出教材注重培養學生的數感，符號感，觀察能力，合情推理能力，歸納概括能力，強化探究的意識和運用數學的意識，以求達到較高認知水平，這種要求無疑促進了教學方式的轉變.此外，從教材使用的情境表格分析也能發現，國外教材在此內容上對學生高認知水平能力的培養甚于國內.

與此同時還發現，我國和美國的各版本教材在敘述法則時用文字語言，而版本的教材用符號語言，如下：

“兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘”

Words，The product of two integers with the same sign is positive.

Examples 2×5=-2×（-5）=10（美國加州2版）

Ingeneral，（-a）×（-b）=a×b Where a and brepresent positive integers.（新加坡版）

這個區別說明，新加坡版教材非常重視培養學生的符號感和抽象能力.

由此可見，在高認知水平能力的培養上，我國教材有加強的傾向，而國外教材在此方面強于我國.使用時可根據學生的個體差異，力求中等學生達到水平3，基礎較弱學生達到水平2，較強學生達到水平4.

通過以上對13個版本初中數學教材“負負得正”內容的比較，可以得出以下結論：

（1）課改后的所有教材都關注內容呈現的過程性，且使用的模型和問題情境呈多樣化，關注學生對知識的認知過程，在引導教學方式的轉變上體現出共性和特色.

（2）課改后的所有教材均注重培養學生較高認知水平.

三、對教學的啟示和思考

（1）教學中不能為了“創設情境”而創設情境，如果選擇的生活情境學生不易理解，那就應該考慮從數學本身出發，尋求直接的、更接近數學本質的方法來解決問題.所以筆者認為兩組具有相反意義的量的模型不宜選擇.

（2）在使用模型說明“負負得正”時，要選擇符合學生已有認知水平的模型，培養學生高認知水平也要適度，不能有過高的要求，它的培養是一個長期的、循序漸進的過程，教師應選擇合適的內容適時、適度訓練，一而貫之，方能有效.

（3）多數教師在呈現“負負得正”法則時，使用有些模型會用到乘法的交換律和結合律，認為與數學自身體系“先規定運算法則，然后研究運算律是否成立”相矛盾，產生疑問，筆者認為應在遵循數學體系的同時遵循學生的認知規律，所以選擇相反數模型、數軸模型、歸納模型比較適合.當數學的嚴密性與學生的可接受性產生矛盾時，就需要我們數學教師展示智慧，兩者兼顧地化解矛盾.

1.馬復.義務教育數學課程標準實驗教科書（七年級上冊）［M］.北京：北京師范大學出版社，2005.

2.林群.義務教育數學課程標準實驗教科書（七年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2005.

3.王建磐.義務教育數學課程標準實驗教科書（七年級上冊）［M］.上海：華東師范大學出版社，2005.

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12.史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

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15.沈蘭，鄭潤州.變革的見證——顧泠沅與青浦教學實驗年［M］.上海：上海教育出版社，2008.