由兩個簡單結論引發(fā)的對一道競賽題的探究

☉河北省圍場縣天卉中學 趙 平

結論一：角平分線+垂線?等腰三角形（及底邊的中點）.

具體理解：如圖1，OP是∠MON的平分線，AB⊥OP，分別交OM、ON于點A、B.則有以下結論成立：①OA=OB；②點C是AB的中點.即△AOB是等腰三角形，垂足是等腰三角形底邊的中點.特別說明：結論②用的更多一些.證明比較簡單，這里從略.

結論二：直角三角形一個銳角的平分線與斜邊上的高線以及該銳角的對邊圍成等腰三角形.

圖1

具體理解：如圖2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條角平分線AM相交于點P.求證：CM=CP（△CMP是等腰三角形）.

圖2

簡析：由AM平分∠CAB，知∠CAM=∠BAM.

又∠BAM+∠APH=90°，∠CAM+∠AMC=90°，

則∠AMC=∠APH=∠CPM，

即△CMP是等腰三角形.

圖3

引申：把直角三角形一個銳角的平分線換為該銳角的外角平分線，結論仍然成立.如圖3，若AM是Rt△ABC的銳角∠CAB的外角平分線，且AM交BC的延長線于點M，交AB邊上的高線的延長線于點P，則△CMP是等腰三角形.證明方法同上，這里從略.

競賽題 （2009年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽（B卷）第二大題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點，PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.

原解：如圖4，因為BN是∠ABC的平分線，

所以∠ABN=∠CBN.

又因為CH⊥AB，

所以∠CQN=∠BQH=90°-∠ABN=90°-∠CBN=∠CNB，故CQ=NC.

圖4

又F是QN的中點，

所以CF⊥QN，

所以∠CFB=90°=∠CHB，

因此C、F、H、B四點共圓.

又∠FBH=∠FBC，所以FC＝FH，

故點F在CH的中垂線上.

同理可證，點E在CH的中垂線上.

因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.

一、從兩個結論對解法進行探究

由兩個結論想到不同于原證法的證明方法，而且不用四點共圓，降低難度.

在圖3中，由結論二可知△CMP及△CNQ均為等腰三角形，而點E、F分別為兩個等腰三角形底邊上的中點，若分別連接CE、CF，則有CE⊥AM，CF⊥BN.分別延長CE、CF與AB相交，則可知點E、F分別所得線段的中點，所以線段EF為所得三角形的中位線，從而結論得證.

證明：如圖5，分別延長CF、CE與AB相交于點G、D.

因為CH是AB邊上的高線，∠ACB＝90°，AM平分∠CAB，所以∠HAP+∠APH=90°，∠CAP+∠CMA=90°，∠HAP=∠CAP.

所以∠APH=∠CMA=∠CPM，即CM=CP.

又點E是PM的中點，

所以CD⊥AM.

又AM平分∠CAB，

所以△ACE≌△ADE.

圖5

所以點E是CD的中點.

同理點F是CG的中點.即EF是△CDG的中位線.

所以EF∥DG，即EF∥AB.

二、由結論二的引申對問題進行變式探究

結論二的引申：把內角的平分線換為外角的平分線，結論不變.那么，競賽題中若把角的平分線換為外角的平分線，結論是否也不變呢？下面我們來探究一下：

1.把一條內角的平分線換為外角的平分線

如圖6，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條外角平分線AM、一條內角平分線BN，分別交于P、Q兩點，PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.

圖6

證明：如圖6，分別延長CF、CE與AB所在的直線相交于點G、D.

因為CH是AB邊上的高線，∠ACB＝90°，AM平分∠DAC，

所以∠HAP+∠APH=90°，∠CAM+∠CMA=90°，∠HAP=∠DAM=∠CAM.

所以∠APH=∠CMA，即CM=CP.

又點E是PM的中點，所以CD⊥PM.

又AM平分∠CAD，

所以△ACE≌△ADE.

所以點E是CD的中點.

同理，點F是CG的中點.

即EF是△CDG的中位線.

所以EF∥DG，也即EF∥AB.

2.把兩條內角的平分線都換為外角的平分線

如圖7，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH所在的直線與△ABC的兩條外角平分線AM、BN所在的直線分別交于P、Q兩點，PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.

證明：如圖7，分別延長CF、CE與AB所在的直線相交于點G，D.

圖7

因為CH是AB邊上的高線，∠ACB＝90°，AM平分∠DAC，所以∠HAP+∠APH=90°，∠CAM+∠CMA=90°，∠HAP=∠DAM=∠CAM.∠APH=∠CMA，即CM=CP.

又點E是PM的中點，所以CD⊥PM.

又AM平分∠CAD，所以△ACE≌△ADE.

配制一系列不同初始濃度的甲基紫溶液，其他條件不變，考察甲基紫溶液初始濃度對TiO2薄膜光催化性能的影響，實驗結果見圖4.

所以點E是CD的中點.

同理，點F是CG的中點.即EF是△CDG的中位線.

所以EF∥DG，也即EF∥AB.

三、對母題所產的“金蛋”進行探究

關于“費爾馬猜想”這個問題，有一個有趣的傳說，偉大的數(shù)學家希爾伯特曾經聲稱，他能解開這個難題，可是由于在求解這個難題的過程中，給數(shù)學的發(fā)展創(chuàng)造了不少新的內容，如果這個難題解決，這些有益的副產品就可能得不到，因此他故意回避而不去解決，他很形象地將“費爾馬猜想”比作一只母雞，而將那些有益的副產品比作“金蛋”，希爾伯特深情地說“我應當更加注意，不要殺掉這只經常能為我們下金蛋的母雞.”相信這樣一道優(yōu)質的賽題也一定會產出一些金蛋.不探究一番，實在可惜.

第一枚金蛋.如圖8，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條角平分線AM相交于點P，又點E、D分別為PM、AC的中點.求證：ED∥AB.

圖8

簡析：由結論二知點E為等腰三角形CMP的底邊中點，所以CE⊥AM.又點D為AC的中點，所以ED是Rt△ACE斜邊的中線，即DE=AD=CD，所以∠AED=∠DAE=∠EAB，問題得證.

第二枚金蛋.如圖9，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條角平分線AM相交于點P.又點E、D分別為PM、AC的中點，連接DE、DH.求證：DE=DH.

圖9

因為DH是Rt△ACH斜邊的中線，

所以DH=AD=CD，

即DH=DE.證畢.

第三枚金蛋.如圖10，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F，若AC=3，BC=4.求EF的長度.

圖10

圖11

簡析：如圖11，分別延長CF、CE與AB相交于點G、D.

根據(jù)賽題的證明，再結合結論一：

由CE⊥AM，可得△ACD是等腰三角形，所以有AC=AD.由CF⊥BN，

可得△CBG是等腰三角形，

所以有CB=BG.

根據(jù)圖形知DG=AD+BG-AB，

所以DG=AC+BC-AB.

又EF是△CDG的中位線，