“變與不變”、“多變歸一”地探究“旋轉”三角形

☉江蘇省鹽城市明達中學 陳云龍

一、引言

旋轉變換在初中數學圖形與幾何內容中占有非常重要的地位，它貫穿在相交線、三角形、四邊形、圓等幾乎所有重要的幾何內容之中.新課標中也提到：“讓學生經歷探索物體與圖形的旋轉變換過程并掌握圖形旋轉變換的基本性質”.近年來，有關旋轉變換的幾何問題不斷地在中考題中呈現，尤其是在特殊三角形的幾何問題中更為突出.而在特殊三角形的幾何問題中加入了“旋轉”這一因素之后，能讓題目變得格外有魅力和活力.筆者整理了2012年各地中考試卷中的部分有關特殊三角形旋轉型中考題，進行賞析.賞析之后總結歸納出了一些教學啟示，意在拋磚引玉.

二、2012年部分特殊三角形旋轉型中考題賞析

1.等邊三角形中的旋轉問題

例1 （遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.

（1）將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O.

①如圖1，當θ=20°時，△ABD與△ACE是否全等？______（填“是”或“否”），∠BOE=______度.

②當△ABC旋轉到如圖2所在位置時，求∠BOE的度數.

圖1

圖2

圖3

（2）如圖3，在AB和AC上分別截取點B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，連接B′C′，將△AB′C′繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O，請利用圖3探索∠BOE的度數，直接寫出結果，不必說明理由.

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

2.等腰直角三角形中的旋轉問題

例2 （遼寧阜新）（1）如圖9，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.

①當點D在AC上時，如圖9，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結論.

②將圖9中的△ADE繞點A順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），如圖10，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由.

（2）當△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的位置關系仍然成立？不必說明理由.

甲：AB∶AC=AD∶AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：AB∶AC=AD∶AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：AB∶AC=AD∶AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°.

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

例3 （福建寧德）某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：

如圖14，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在點A處，從AB邊開始繞點A順時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E.

（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發現：若AD平分∠MAB，則AE也平分∠MAC.請你證明小敏發現的結論.

（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉的過程中發現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD2+CE2=DE2.同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決：

小穎的方法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖15）；

小亮的方法：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，連接EG（如圖16）.

請你從中任選一種方法進行證明.

圖14

圖15

圖16

圖17

（3）小敏繼續旋轉三角板，在探究中得出：當45°＜α≤135°且α≠90°時，等量關系BD2+CE2=DE2仍然成立.現請你繼續探究：當135°＜α＜180°時（如圖17），等量關系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

評析：本題的考點為角平分線的定義、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質、疊對稱的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、三角形外角性質、三角形內角和定理等.（1）由角平分線的定義，根據等腰直角三角形和旋轉的性質，即可得出結論.（2）小穎的方法是應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DEF中應用勾股定理而證明.小亮的方法是將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，根據旋轉的性質用SAS得到△AEG≌△AED，從而在Rt△CEG中應用勾股定理而證明.該小題其實給我們提供了兩種解題思路，分別是小穎的軸對稱變換思路和小亮的旋轉變換思路，為后面的探究做好了強有力的鋪墊.（3）當135°＜α＜180°時，等量關系BD2+CE2=DE2仍然成立.仿（2）中兩位同學的思路都能證明，如圖18，是用小穎的軸對稱變換思路.如圖19是小亮同學的旋轉變換思路.

圖18

圖19

圖20

圖21

其實，如果我們對本題進行深入探究還可以發現，第⑶小題中一筆帶過的那句話：當45°＜α≤135°且α≠90°時，等量關系BD2+CE2=DE2仍然成立，我們也還可以進一步進行探究，在45°＜α＜90°，此時，點D和點E一個在線段BC上，一個在BC的延長線上，如圖20是用小穎的軸對稱變換思路，同樣，我們也可以用小亮的旋轉變換思路來證明，如圖21.

還有一種情況也值得我們去探索，就是當90°＜α＜135°，這個時候點D和點E都在延長線上，如圖22，是用小穎的軸對稱變換思路來證明，同樣，我們可以用小亮的旋轉變換思路來證明，如圖23.最后，我們再來看看當180°＜α＜225°時結果會怎樣，發現和0°＜α≤45°其實也是一樣的，如圖24，到這里，應該說這一題所有情況都已探索到了.我們可以總結：本題任何一種情況，實質都是一樣的，都是先通過利用變換思想構造全等三角形，從而把要求判斷的三條線段利用全等三角形的性質轉化到同一個三角形中，最后再說明該三角形是直角三角形進而得出結論，問題就解決了.本題的精妙之處就在于旋轉中的變換，即在整個大的旋轉背景條件之下，再利用旋轉變換或者軸對稱變換的解題思路進行證明，最終體現“多變歸一”的本質.

圖22

圖23

圖24

三、對以上中考美題賞析后引發的教學思考

1.“旋轉”所帶來的變式拓展，讓三角形問題變得絢爛多姿

以上三個中考題，每題中通過多次“旋轉”帶來了諸多變式拓展圖形，讓三角形問題變得絢爛多姿.而縱觀例1和例2不難發現，其實例2就是例1的一個變式，把問題的背景由等邊三角形變成了等腰直角三角形.可見，在近年的中考題中，變式拓展探究類問題已逐漸成為了主流，因此，在平時的教學中，我們應該非常重視“變式教學”，讓學生在一系列的變化中尋找規律，發現“變”中的“不變”，從而找到整個系列問題的根本解決辦法，做到“多變歸一”，達到“解一題，通一類”的教學目的.另外，從課堂形式來看，通過“變式教學”，可以激發學生的好奇心、求知欲和創造力以及求異思維，從而提高學生的課堂參與度，讓學生真正成為課堂的主角，這正是我們所需要的“生本課堂”.

2.“旋轉”所帶來的基本圖形，讓三角形問題變得精妙絕倫

3.“旋轉”所帶來的數學思想，讓三角形問題變得美不勝收

通過以上中考題的賞析，讓我們體悟到了隱藏在旋轉變換這一背景下的全等這一數學核心知識點以及滲透在里面的諸多重要數學思想，包括轉化（化歸）思想、從特殊到一般的思想、分類思想、數形結合思想、類比思想等等，讓三角形因這些重要數學思想的滲透而變得美不勝收.我們都知道，數學是思維的科學.數學教學最重要的是要使學生學會思維，學會數學思維，而合理的思維主要依賴于科學的思想方法.因此，要使數學學習卓有成效，就必須十分重視數學思想方法的學習.數學思想方法具有隱性的特點，它隱于知識內部，它的形成是一個逐步滲透的長期過程，必須以數學問題為載體，經過循序漸進和反復訓練，才能使學生真正地有所領悟.因此，數學思想方法的教學需要我們教師悉心研討《課標》，認真鉆研教材，努力挖掘教材中能進行數學思想滲透的各種素材，對數學知識從數學思想方法的角度認真分析，課堂上才能很好地進行數學思想方法的滲透.只有注重數學思想方法的教學，才能開啟學生智慧之門，超脫題海之苦，使學生學習更富有朝氣和創造性.

4.“旋轉”所帶來的探究活動，讓三角形問題變得精彩紛呈

以上中考題通過“旋轉”帶來的一系列變式探究活動過程，讓學生經歷了知識探究的全過程，充分體驗到“一題多變”的情趣以及“多變歸一”的妙趣，讓三角形問題的課堂變得精彩紛呈.學生在整個探究過程中解題能力、思維能力都得到了提高和發展.“知識探究過程”是變式教學的“生命線”，學生經歷了發現問題、得出猜想、操作體驗、探索交流、質疑反思、推理驗證、解決問題這整個過程，其中不乏“山重水復”“豁然開朗”的學習體驗.從思維的鍛煉、能力的形成角度看，要比單純的解題訓練來得更深刻，更有效！因此，在教學中，教師應該多組織學生進行有效的探究型活動，讓學生自主合作學習，把課堂還給學生，真正實現“生本課堂”.

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