關于分式方程增根問題的探討

關柏林

在解分式方程時，要在方程兩邊同時乘以最簡公分母，所化成的整式方程與原方程并不一定是同解方程，整式方程的解就會出現兩種情況：一是整式方程無解，導致原分式方程無解；二是整式方程有解，但是不適合原分式方程，即產生增根。所以說，分式方程無解不一定有增根，而有增根必無解，弄清了這兩點，我們在求解有關分式方程增根的問題時，就會輕松一些。下面僅就幾個典型的例題來進一步理解分式方程增根的問題。

例1：求分式方程■=0的解。

解：方程兩邊同時乘以X后，化成整式方程得X=0，我們可以發現，此整式方程無解，當然原分式方程無解。這里要注意的是原分式方程無增根，即分式方程■=0的解的情況是無解且無增根。

提示：此分式方程是最簡單的分式方程，但它可以很好地說明分式方程無解不一定有增根。教學時可強調這一點，讓學生深刻理解并記住這一例題。

例2：求分式方程■=■=的解。

解：方程兩邊同時乘以最簡公分母x2-1后得x+1=2，解得x=1，此時x=1是整式方程的解。但x=1使最簡公分母為零，所以原方程無解，即分式方程■=■=的解的情況是無解有增根。

提示：這道例題是一個最為普遍的分式方程增根的問題，也最好理解，它是由于方程有增根從而導致原分式方程無解的問題，是我們教學中經常遇到的問題，教學中應重點強調。

例3：若關于X的分式方程-■-■=1無解，求a值。

解：方程兩邊同時乘以最簡公分母x（x-1）化成整式方程為（a+2）x=3，第一種情況：當a=-2時，使整式方程無解導致分式方程無解，但無增根；第二種情況：把x=0與x=1可能是方程增根的兩個x值代入，求a值。當x=0時，a無解。說明不存在這樣的a值。使原分式方程的增根為x=0，當x=1時，能得a=1。此時，存在這樣的a值使原方程的增根為x=1，按題意要求使原分式方程無解的a值有兩個即a=1或a=-2。

提示：方程中參數a對方程的解起著決定性的作用，討論a的值時要分清情況，尤其要注意使最簡公分母為0的x的值并不一定都是原方程的增根，由以上分析可看出當x=0時不存在這樣的 a 值使原分式方程的增根為x=0。

例4：求使分式方程■-1=■有增根的m值。

解：方程兩邊同乘以最簡公分母（x-1）（x+2）化成整式方程為x+2=m，即：x=m-2，當x=-2或x=1時，都會使最簡公分母為0，使原分式方程無解，從而我們可求出m=0或m=3。當m=0時，原方程為■-1=0，此方程根的情況是無解，但無增根；而當m=3時，原方程為■-1=■，此方程無解但有增根。綜上所述，正確的答案是m=3。

提示：這是一道中考題，解題者往往忽略分式方程無解時并不一定有增根，只是簡單地代入使最簡公分母為0的值x=-2和x=1從而求出m=0和m=3，這樣就會出現錯誤，原因就是使最簡公分母為0的值并不都是方程的增根，有的使整式方程無解，都不是原分式方程的增根。

例5：若關于x的分式方程■=2的解為正數，則m的取值范圍是 A m﹥-1 B m ≠1 C m﹥1且 m≠ -1 D m﹥-1 且 m≠1。

解：方程兩邊同乘以最簡公分母（x-1）化成整式方程為（m-1）=2（x-1），解得x的值是x=■，因為此方程中的解為正數即x=■﹥0，但此時 x的值不能為1，當 x =1時此方程無解，不符合題意要求，所以求出的取值范圍為 m﹥1且 m≠ -1。

提示：解題者往往只關注解為正數，而忽略當m﹥1時存在使原方程無解，但此時 m=1只是使其無解，并不產生增根，在教學時要注意語言的準確性和規范性。

例6：若關于x的分式方程■=1的解為整數，則整數 a 的值為多少？

解：方程兩邊同乘以最簡公分母（x=2）化為整式方程為 ax=x+2， 從中把x用含有a 的代數式來表示為x=■，因為x 為整數，a為整數，所以我們可以看出能被2整除的整數位+1、-1、+2、-2四個整數，但要考慮使方程無解時即a-1=±1、a-1=±2 的 a 值，在這種情況下我們可以求出符合條件的a 的值有三個，即a=2，a=3與a=-1。

提示：學生在求解此題時有兩個難點，一是不會把 x用含 a的式子表示出來，然后根據正整數解討論，二是忽略使原分式方程產生增根的a 的值，導致結果出現錯誤。

由上述幾道例題我們不難發現，在解有關含有參數的分式方程的增根問題時，首先要明確題目要求是無解還是有增根，然后再根據具體問法慎重解決此類問題。一般可以按照三步進行求解，第一步：先把方式方程化為整式方程，第二步：代入使最簡公分母為0的x 的值，從而求出參數的值，當參數字母在 x的系數位置時，還要考慮使整式方程無解時的值，第三步：把求出的參數字母的值再返回代入原方程中看一看究竟是使原分式方程無解還是產生增根，再根據問法寫出正確結果。

（責任編輯 付淑霞）