Timoshenko梁功率流主動控制研究

王有懿，馬文來，趙 陽

(哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001)

梁式結構應用廣泛，如航天器天線桿、相機支架、太陽能帆板軸等。飛輪及陀螺等高速旋轉部件的中、高頻擾動在航天器梁式結構中傳播，會引起結構抖動。由于環境阻尼較小，此抖動將長時間持續存在，影響天線、相機等高精度敏感設備的正常工作，降低精度。因此，對梁式結構進行抖動分析與控制研究具有重要的理論價值與工程實際意義。

擾動引起結構動態響應的主要研究方法有:有限元方法、統計能量法、行波方法等。在分析結構中、高頻動態特性時，有限元方法與統計能量法均表現出各自的不足;而行波方法計算結構動力學響應一般無頻率限制，具有魯棒性［1］。在行波方法基礎上引入“功率流”方法，該方法綜合力與速度響應大小及相位關系，能給出結構內的局部能量分布及功率流傳播路徑，可揭示整個系統的能量分布，為研究復雜系統振動的有效工具。功率流主動控制方法克服了傳統模態控制方法與數學模型緊密相關及控制頻率受限的缺點和不足，主要功能為隔離結構中能量的傳遞，僅通過最小化功率流即可減小結構整體抖動。功率流模型可描述結構中振動傳播，為振動控制設計中重要的控制優化特征量。Miller等［1］首先采用行波方法處理結構振動問題;Mace等［2-4］采用單一傳感器與單一作動器研究梁彎曲波的同位反饋控制與自適應前饋控制以及近場影響下梁彎曲波的主動控制;Schwenk等［5］提出用于控制梁結構振動功率流的算法。Audrain等［6］研究了梁結構功率流控制理論，并進行實驗驗證。Pereira等［7］采用基于最小化結構功率流實部的控制方法，降低了梁結構整體抖動;劉春川等［8-9］采用波動方法研究了有限L型梁結構功率流主動控制;朱宏平等［10］采用導納波動方法研究了建筑結構功率流主動控制策略。宋孔杰等［11］對柔性隔振系統功率流理論進行了深入研究。金全洲等［12］研究了圓柱殼結構功率流主動控制方法。以上研究對梁結構動力學分析與控制主要采用Euler-Bernoulli經典梁理論，用Timoshenko梁理論則較少。經典梁理論在結構動力學分析中具有局限性，Timoshenko梁理論因考慮橫向剪切變形與轉動慣量影響，更適用于結構的中、高頻振動研究，其分析結果更接近工程實際。Carvalho等［13］基于波動吸收方法研究了無限長Timoshenko梁中彎曲波的主動控制;Mei等［14-15］對Timoshenko梁結構的波反射、透射及振動主動控制的混合波/模方法進行研究，其波動控制策略采用同位配置反饋控制?？傊M管基于Euler-Bernoulli梁理論的結構功率流研究已相對成熟，但關于Timoshenko梁結構功率流研究甚少。

本文基于Timoshenko梁理論，考慮梁中轉動慣量及剪切效應，建立懸臂梁結構的行波動力學模型，分析擾動對梁結構動態特性影響。通過理論仿真與分析，研究Timoshenko梁結構中的功率流傳播及主動控制方法，為梁耦合結構、桁架結構的抖動分析與控制研究提供基礎。

1 懸臂Timoshenko梁行波動力學模型

圖1 懸臂Timoshenko梁模型Fig.1 The cantilever Timoshenko beam model

圖1為懸臂Timoshenko梁結構，由于該梁包含剪切變形與轉動慣量影響，其波動動力學方程為:

式中:w，φ分別為彎曲波位移、轉角;M，V為彎矩、剪力;E為彈性模量;I為梁慣性矩，I=Ah2/12，A為梁橫截面面積;h為橫截面高度;ρ為梁密度，K為剪切折算系數，K=π2/12。

根據行波理論，Timoshenko梁彎曲波位移與轉角的行波解為:

圖1懸臂梁結構，力F0eiωt作用的左右彎曲波位移、轉角、剪力、彎矩分別為w1，φ1，V1，M1與w2，φ2，V2，M2?？紤]力作用不連續處x=x0的力平衡條件及位移連續條件得:

由梁兩端邊界條件得:

在x=0處:

在x=L處:

由此，考慮邊界條件、力作用點處連續條件得方程組為:

式中:［α］為8×8維系數矩陣，由邊界條件、力作用處連續條件確定;{A}={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8}T為波譜系數矩陣;{F}={0，0，0，F0，0，0，0，0}T為激勵源矩陣。

由上可知，只要給出具體參數值，便可求出式(17)中的{A}，代入式(1)、式(2)可得懸臂梁結構任意位置的動力響應。

作用于x0位置的擾動力F0eiωt在懸臂梁任意位置響應可表示為:

式中:wx0(x)、φx0(x)為單位力產生的彎曲波位移及轉角。

2 Timoshenko梁功率流傳播分析與主動控制

功率流為結構中某一截面能量傳遞的時間平均。在Timoshenko梁結構中某x位置截面處的主動功率流可表示為［8］:

式中:w，φ為彎曲波位移和轉角;V，M為剪力、彎矩，*為共軛轉置符號，Re表示取實部。

前饋主動控制算法廣泛應用于梁、板及組合結構中。因此，在Timoshenko梁結構行波動力學建模基礎上，對梁結構進行功率流主動控制，以抑制梁式結構振動功率流的傳遞。

圖2 Timoshenko梁功率流主動控制圖Fig.2 The diagram of power flow active control for Timoshenko beam

由圖2，擾動力作用于x0位置，控制力作用于xs位置，由式(18)，控制力Fseiωt產生的響應為:

式中:wxs(x)、φxs(x)同wx0(x)、φx0(x)，僅主動控制力Fseiωt作用位置處連續條件不同。

由式(18)、式(20)知，當擾動力與控制力共同作用時，懸臂梁的彎曲波位移、轉角為:

彎矩、剪力為:

將式(21)、(22)代入式(19)得:

式中:

由功率流Pxa對控制力Fs的實部與虛部偏導數為0，得最優控制力為:

將式(24)代入式(23)可得通過懸臂梁x截面的最小功率流。即通過優化功率流獲得控制力大小、相位，以實現梁式結構功率流傳播的主動控制。

3 仿真算例與分析

以懸臂Timoshenko梁為例進行數值計算分析，首先計算其動力學響應并與有限元方法計算結果比較，分析行波方法計算結構動態特性的精確性;在此基礎上，基于Timoshenko梁理論獲得結構中傳播的功率流，并與Euler-Bernoulli經典梁結果對比;通過計算分析，對梁結構進行功率流主動控制，對比Timoshenko梁控制前后傳播的功率流，驗證功率流主動控制方法的正確性與有效性。

3.1 動力學響應仿真算例與分析

圖2懸臂Timoshenko梁結構幾何尺寸:長L=4 m，寬度b=0.02 m，厚度h=0.02 m;彈性模量E=2.0 ×1011N/m2;密度ρ=7 800 kg/m3;泊松比ν=0.3;阻尼因子η=0.001;擾動力F0eiωt(F0=1 N)作用于x0=1 m 處;控制力Fseiωt作用于xs=2.5 m 處;誤差傳感器位于xe=3 m處。仿真結果見圖3、圖4。

圖3為擾動力F0eiωt作用于懸臂梁x0=1 m處時，x=3 m處橫向位移頻響函數的行波解及將結構分別劃分為64、128、256梁單元的有限元解。

圖4為分別基于Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli經典梁理論x=3 m截面處功率流對比。

圖3 有限元與行波方法計算Timoshenko梁動力學響應Fig.3 Comparison of dynamic response in the Timoshenko beam by FEM and traveling wave method

圖4 Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli梁理論計算懸臂梁結構中功率流Fig.4 Power flow of cantilever beam calculated by Timoshenko and Euler-Bernoulli beam theory

由圖3看出，基于模態疊加的有限元方法計算結果在低頻段與行波方法計算結果吻合較好。在中、高頻段，隨著單元的增加，有限元方法解逐漸趨向行波解。其差別原因在于有限元采用模態疊加方法，在求解過程中存在截斷誤差，且高階模態計算不準確;而行波方法不受模態限制，可精確計算結構在全頻域的響應。

由圖4知，兩種梁理論計算功率流的結果不同，由Timoshenko梁理論計算的共振頻率明顯低于由Euler-Bernoulli梁理論計算結果。其原因為:Euler-Bernoulli梁理論中未考慮結構剪切變形影響，梁的剪切剛度認為無窮大，而梁的實際剪切剛度是有限的。Timoshenko梁理論中考慮了剪切變形及轉動慣量影響，在高頻段及中、低頻段影響梁結構的功率流傳播，使計算的共振頻率低于Euler-Bernoulli理論結果，且結果更接近真實梁結構的動態特性。

3.2 功率流主動控制仿真算例

對圖2懸臂Timoshenko梁進行功率流主動控制仿真，初始條件同3.1節。圖5～圖7分別為主動控制前后功率流對比圖、最優控制力圖及控制力作用不同位置的功率流主動控制效果圖。

圖5 x=3 m截面處控制前后功率流對比(dB ref:10-10w)Fig.5 Comparison of power flow atx=3 m with control and without control(dB ref:10-10w)

圖5、圖6分別為懸臂Timoshenko梁功率流主動控制效果圖及最優控制力圖。由圖5看出:用功率流主動控制方法可明顯降低梁結構中功率流傳播，且在全頻域中功率流平均衰減約60 dB。因此，功率流主動控制可實現結構在全頻域范圍的最優控制。由最優功率流優化可得圖6的控制力，通過前饋、x濾波、最小均方(LMS)、自適應算法可抑制結構振動功率流傳遞。

圖6 功率流主動控制下的最優控制力Fig.6 The optimal control force with active control of power flow

圖7 控制力作用于不同位置處的功率流Fig.7 The power flow for different locations excited by control force

圖7為控制力作用于懸臂Timoshenko梁不同位置的功率流控制效果圖。由圖7看出:① 無論控制力作用于懸臂梁結構的任何位置，只要通過優化功率流給出控制力并施加控制均可較好實現懸臂梁結構全頻率下功率流主動控制［16］，且控制力位置距誤差傳感器越遠，控制效果越明顯。其原因在于:當控制力作用位置接近誤差傳感器位置，控制力近場效應會對誤差傳感器產生影響，進而影響控制效果。② 低頻段控制力位置對控制效果影響顯著，但對中高頻段，控制力位置對功率流的控制效果影響較小。其原因為近場效應影響隨頻率的升高而逐漸減少［4］。

4 結論

本文對Timoshenko梁結構功率流主動控制方法進行理論研究，基于行波方法，建立Timoshenko梁結構動力學方程并計算其動力學響應，在仿真分析并與Euler-Bernoulli梁理論進行對比基礎上，研究Timoshenko梁結構的功率流主動控制方法，結論如下:

(1)行波方法可精確計算Timoshenko梁結構全頻域動力學響應;

(2)通過Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli經典梁理論計算結果對比，因Timoshenko梁理論考慮剪切變形及轉動慣量影響，共振頻率明顯低于Euler-Bernoulli經典梁理論計算結果;而在中高頻動力學響應分析中，Timoshenko梁理論結果更精確，且分析結果更接近工程實際。

(3)在Timoshenko梁行波動力學模型基礎上，可獲得Timoshenko梁結構中傳播的功率流，以此為目標函數，經優化控制力可實現結構整體抖動控制。

(4)功率流主動控制能克服傳統方法中高頻控制受限與不能有效控制中高頻擾動的缺點及不足，實現梁結構全頻域的抖動抑制，且控制力位置選擇對功率流主動控制效果影響甚微。

本文基于Timoshenko梁理論給出的懸臂梁精確動力學模型與功率流主動控制方法，可應用于耦合梁、平面與空間桁架等更復雜的梁式結構中。

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