變慣量曲軸系統扭轉振動參數分岔分析

韓建鑫，王 煒，張琪昌

(天津大學 機械學院 天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

曲軸是內燃機重要旋轉部件，其扭轉振動是引發內燃機振動的主要因素。在進行曲軸系統扭轉動力學理論分析過程中，先需確定系統當量轉動慣量再進行建模分析。目前大多數計算模型均采用常轉動慣量等效替代活塞、連桿等往復部件轉動慣量［1］，忽略實際轉動慣量隨轉角周期變化因素［2］。研究表明，該等效近似處理會使扭振計算出現較大誤差［3］。

為更好反映實際系統振動，國內外學者考慮變慣量因素，對曲軸系統扭振進行了較詳細的理論計算與仿真分析。王升潤等［4］以單圓盤變慣量曲軸系統為模型，研究并解釋了共振情況下系統穩態振幅的跳躍現象成因;向建華等［5］以六圓盤曲軸系統為研究對象，數值分析了變慣量引入對軸系扭轉角幅值影響;朱向哲等［6］利用已有變慣量公式，數值分析了六圓盤曲軸系統動力學特性;Brusa等［8］考慮曲軸系統往復運動特點，建立多圓盤系統振動方程，數值分析了系統在自由振動與強迫振動下的穩定性問題;Metallidis等［9］考慮往復部件影響，建立了單缸、多缸曲軸扭轉振動模型，將變慣量參數處理為無量綱小量，利用多尺度方法得到單缸曲軸—外部輪軸組成的兩自由度系統平均方程，用數值方法研究了參數對系統穩態幅值影響。以上研究對深入了解曲軸扭轉振動機理具有重要指導意義。

然而，現有文獻或將變慣量參數處理為無量綱小量進行分析，或用數值方法進行仿真研究，無法從理論方面了解該參數對系統分岔行為的影響。為此本文，① 利用變慣量公式［9］，充分考慮曲軸軸系一及三次彈性力矩、阻尼力矩，以及系統受到由活塞氣壓變化所產生的不平衡激勵力矩，建立單缸變慣量曲軸系統動力學方程;②應用多尺度法得到系統在轉動頻率、激勵頻率與固有頻率近似滿足1∶2∶1情況下的分岔方程;③應用奇異性理論［10］研究共振情況下系統穩態幅值隨變慣量參數及調諧參數變化的分岔情況;④選取實際物理參數，將理論結果與數值仿真結果進行對比，驗證理論分析的正確性。本文研究對充分認識變慣量因素對曲軸扭轉振動特性的影響，促進軸系優化設計具有一定指導意義。

1 振動微分方程建立

1.1 變轉動慣量

設曲柄半徑為r，轉動慣量為Ic，連桿長度為l，連桿質心G到曲柄端A的距離為l1，曲柄質量為mc，連桿質量為mr，活塞質量為mp，曲柄轉角為θ，扭轉角為φ，曲軸工作角頻率為Ω，曲柄連桿工作過程中三者滿足θ=Ω t+φ，如圖1所示。

圖1 活塞—曲柄機構原理圖Fig.1 Schematic figure of piston-crank model

據內燃機動力學知識，活塞速度vp可近似表示為:

式中:λ0為連桿比，λ0=r/l。

據瞬時動能等效條件:

式中:m1，m2分別代表連桿等效到曲柄銷的旋轉部分質量和等效到活塞上的往復部分質量，m1=(l-l1)mr/l，m2=l1mr/l。

將式(1)代入式(2)，得系統變轉動慣量為:

由于λ0=1/5～1/3比值較小，忽略λ0及高次項，得系統變轉動慣量［2］表達式為:

式中:J0=Ic+m1r2+(m2+mp)r2/2，β=(m2+mp)r2/(2J0)。

1.2 單缸曲軸動力學模型

圖2 單缸曲軸等效模型簡圖Fig.2 Equivalent model of single cylinder crankshaft

考慮活塞等往復部件影響，將單缸曲軸等效為單圓盤模型，如圖2所示。考慮曲軸阻尼力矩，一次、三次彈性力矩［11］及活塞氣壓變化引起的不平衡激振力矩(力矩頻率與系統轉動頻率成比例關系［12］)。系統的動能、勢能、耗散能與外界激勵力矩分別表示為:

據Lagrange方程:

考慮實際情況下系統許用扭轉角φm(φm=±0.2°～ ±0.5°)較小［9］，三角函數 sin(2θ)和 cos(2θ)取值可近似表示為sin(2Ω t)和cos(2Ω t)，則系統動力學方程可寫為:

式中:k1，k3分別為曲軸線性剛度系數及三次非線性剛度系數，c為曲軸線性阻尼系數，T為激勵力矩幅值，Ω1為角頻率。

2 非線性振動特性分析

對式(8)進行量綱分析并考慮實際情況下系統弱阻尼與弱非線性特性，將變慣量影響視為方程攝動量，在相應項前冠以小參數標志ε，則有:

2.1 系統分岔方程

ω，Ω1取值不同對應的振動情況亦不同，為簡化研究過程，設主要激勵頻率Ω1=2Ω，即μ=2，令μn=1+εσ，其中σ為調諧參數，其它情況下分析類似。

用多尺度方法［13］研究方程振動特性，引入時間尺度Tn=εnτ(n=0，1)，設式(9)一次近似解為:

將式(10)代入式(9)，并令等式兩邊ε同次冪系數相等，得偏微分方程為:

其中:Dn=?/?Tn(n=0，1)。

設式(11)復數形式解為:

將式(13)代入式(12)得:

消除永年項條件為:

將A表示為極坐標形式:

將式(16)代入式(15)，分離實虛部并化簡，得:

最終得系統一階近似解為:

2.2 定常解穩定性分析

研究定常解在(σ，β)平面分布情況。將α，ζ視為常數。將a2視為未知變量，式(19)的判別式為:

通過對式(19)、式(20)分析，得:① Δ ＞0，若16ζ2+16σ2-β2＜0，則系統存在兩個解:a1=0，a2若 16ζ2+16σ2-β2＞0且σ＜0，則系統存在三個解:a1=0，a2，3=其它情況系統只存在零解;② Δ=0，若σ＜0，則系統存在兩個解:a1=0，其它情況系統只存在零解;③ Δ＜0，系統只存在零解。

為研究定常解的穩定性［14］，令:

其中:u，v均為實函數，將式(23)代入式(17)、式(18)，求得直角坐標形式下的平均方程為:

式(24)、式(25)的Jacobi矩陣為:

對應零解的特征方程及解可分別表示為:

對應于非零解特征方程及解可分別表示為:

據穩定性判別條件式(28)、式(30)，即可判斷不同參數區間內零解與非零解的穩定性。

2.3 系統轉遷集與普適開折

據式(19)、式(20)，可將系統分岔方程表示為:

故系統轉遷集為:

轉遷集將開折參數空間分為兩個區間，各區間分岔見圖3。

圖3 系統轉遷集及分岔圖Fig.3 Removal set and bifurcation diagram of the system

工程問題分析時，可將原系統物理參數代入，得到無量綱系數β，ζ，σ，α的值，從而判斷系統分岔行為。

2.4 開折參數對原系統影響

當式(22)中β＜4ζ時，系統只有零解，此時系統的穩態幅值為零且無分岔產生;當β≥4ζ時，隨著系統參數變化，定常解個數會改變，即發生分岔行為。

2.4.1 變慣量參數β對系統影響

(2)調諧參數|σ| ?1且σ＞0，變慣量參數β變化時，系統穩態幅值分岔圖如圖4(b)所示，此時只存在第二臨界點，特征點坐標A1=(βc2，0)。當0＜β＜βc2時，系統只有零解，振動幅值很小，此為工程設計理想情況;當β≥βc2時系統出現穩定非零解，此時系統振幅隨β變化較大，工程中應避免。

圖4 系統幅值隨參數β變化分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams whenβ changes

圖5 系統幅值隨參數σ變化分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram whenσ changes

2.4.2 調諧參數σ對系統影響

(1)系統參數β≥4ζ，調諧參數σ變化時，系統幅頻響應如圖5所示，兩個臨界點分別為σc1=，三個特征點坐標分別為A2=(σc1，0)，B2=(σc2，0)，C2=

當σ＜σc1時，系統存在兩個穩定解，此時振動過程與初始條件有關;當σc1≤σ＜σc2時，系統存在非零穩定解，且幅值較大;當σ≥σc2時，系統只有穩定零解，為工程中理想情況。

(2)系統參數β＜4ζ，調諧參數σ變化時系統只有穩定零解。

綜合上述對β，σ分析，并結合式(21)，得:

(1)隨參數的取值不同，式(31)關于振幅a解的個數及穩定性均不同，工程中希望在參數空間內取值使a=0作為穩定唯一解，此時原振動系統一階近似解可簡化為φ=ε［(β-f)sin(2Ω t)］/3，系統振動幅值只與參數β，f有關，當兩者差值較小時，系統保持小幅振動;

(2)a=0條件:① 系統轉動頻率大于固有頻率(σ＜0)時，應優化參數β值，使其保持在β＜4ζ范圍內;② 當系統轉動頻率小于固有頻率(σ＞0)時，應優化參數β值，使其保持在范圍內;

(3)若(1)、(2)均不滿足，則曲軸振動將進入分岔區域，不利于內燃機系統正常工作。

3 數值分析

為驗證理論分析的正確性，本文引入工程中物理參數［6］進行數值仿真分析。選k1=2.35 ×106N·m·rad-1;k3=3.1×105N·m·rad-3;T=500 N·m;Ω=2 500 rad·s-1;Ω1=5 000 rad·s-1;c=20 N·m·s·rad-1。并選三組影響轉動慣量參數β進行分析:

(1)m1=2.572 kg;m2=2.206 kg;mp=2.295 kg;r=0.0432 m;Ic=0.411 kg·m2。此時變慣量參數β=0.01，原系統存在一個解a1=0(S)(其中“S”表示穩定解，“US”表示不穩定解，下同)，仿真結果見圖6。

(2)m1=1.721 kg;m2=1.631 kg;mp=2.52 kg;r=0.211 m;Ic=0.25 kg·m2。得到系統變慣量參數及臨界參數分別為:β=0.22，βc2=0.218 7。可判斷系統存在兩個解:a1=0(US)，a2=1.561 6(S)。此時系統發生大幅振動，共振現象明顯，仿真結果見圖7。

(3)m1=2.238 kg;m2=1.115 kg;mp=1.295 kg;r=0.132 m;Ic=0.360 kg·m2。此時變慣量參數及臨界參數分別為:β=0.05，βc1=0.038 10，βc2=0.218 7。原系統存在三個解:a1=0(S)，a2=1.016 2(US)，a3=1.182 5(S)，不同初值下系統仿真結果如圖8所示。本文認為大振幅情況(圖8(b))不太會出現，但應在曲軸設計中避免。

圖6 第一組參數下時間歷程圖Fig.6 Time process figure with the first parameters

圖7 第二組參數下時間歷程圖Fig.7 Time process figure with the second parameters

圖8 第三組參數下時間歷程圖Fig.8 Time process figure with the third parameters

4 結論

應用多尺度法與奇異性理論研究了曲軸系統轉動頻率、不平衡激勵力矩頻率與固有頻率近似滿足1∶2∶1情況下，變慣量參數β及調諧參數σ對曲軸扭轉振動分岔行為影響，結論如下:

(1)變慣量參數β、調諧參數σ及阻尼參數ζ影響系統在共振情況下的穩態振幅。三參數取值合理，系統保持小幅振動，否則系統出現不穩定的大幅振動，因而導致系統故障，工程設計中應考慮三參數的相對關系;

(2)固有頻率ω與轉動頻率Ω滿足ω＞Ω時，系統振動過程中不存在第一臨界點βc1=4ζ，擴大了參數β的穩定區間，而穩定振幅在臨界點附近不會發生跳躍現象，避免出現突發系統故障;

(3)變慣量參數β與力矩幅值f差值較小時，存在判別條件:①β＜4ζ;②β≥4ζ且系統固有頻率ω大于轉動頻率Ω。當系統參數關系滿足①、②中任意一條時，均可保證系統在許用幅值下做小幅振動，且不會發生穩態振幅大幅變化現象。

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