百慕大期權定價方法及實證研究

劉福國

（昌吉學院數學系 新疆 昌吉 831100）

百慕大期權定價方法及實證研究

劉福國

（昌吉學院數學系 新疆 昌吉 831100）

利用保險精算方法給出連續市場模型下百慕大期權定價公式，并對我國的上海權證市場中的百慕大式權證的實際數據利用離散（二叉數方法）和連續市場（保險精算方法）兩種模型下的百慕大期權定價公式進行實證分析。

百慕大期權;保險精算定價;二叉樹;實證分析

1 引言

期權按照交易時間的不同，期權有歐式期權和美式期權之分，標準美式期權可在其有效期內任何時間均可行使期權，標準歐式期權只能在約定時間行使權力，因而美式期權比歐式期權應用得更為普遍，國際金融衍生市場交易的大多數期權都是美式期權，但實際中交易的美式期權不一定總是具備這些標準特征，尤以股票期權市場最為突出，例如百慕大（bermudan）期權,就只限于在期權有效期內特定日期而不是在任何時間可行使期權，即其價格具備路徑依賴特征，例如一些公司發行的某些認購權證和認沽權證。可見百慕大期權的定價既有重要的理論價值，又具有重要的現實意義，因而百慕大期權的定價一直是國內外眾多學者研究的熱點之一。但是由于路徑依賴特征的復雜性，百慕大期權的定價相對較難，關于該問題研究的文獻比較少，如2005年林建偉采用偏微分方程方法討論了帶跳擴散項的永久百慕大期權定價問題［1］，但他僅解決作為周期解的連續的數學模型，但沒有給出一般連續市場模型下百慕大期權定價公式。

保險精算定價法最早由Bladt M和Rydberg HT應用到期權定價中［2］，閆海峰，劉三陽［3］利用保險精算法推廣了B-S模型，推導出了股票價格遵從Ornstein-Uhlenback過程的期權定價;隨后眾多國內外學者將此方法進一步推廣，如劉倩、劉新平［4］和葉小青［5］把保險精算法推廣到外匯期權、亞式期權的定價問題中等等，由于保險精算法模型無任何條件假設的優越性使該方法的應用極具推廣性。本文利用保險精算方法給出連續市場模型下百慕大期權定價公式并給出相應的實證分析。

2 百慕大期權定價方法

定義2.1［6］按和約規定，提前實施只限于期權有效期內的一些特定時間才可以進行，在其他時間與其它歐式期權一樣不能提前實施,此類期權稱之為百慕大期權。

2.1 二叉樹模型

二叉樹模型首先解決的就是股價走勢的問題，雖然不知道未來某個時點的股價具體是多少，但是二叉樹模型認為在較短的時間間隔內，股票價格S只有兩種運動方向，以概率p向上增長為Su，或以概率1-p下降為Sd，根據股價的歷史波動率，可推算u,d并設定如下：

在給期權定價時，實務界一般認為采用20步二叉樹就能取得較好的定價效果，并且我們通過適當調整步長使行權點剛好與二叉樹分層點重合，對于看跌期權而言，由于最后一層節點處為期末，期權的價值僅為立即行權的價值max{X-ST,0}，然后根據公式（2.2）不斷的往前回溯，如果該節點處有行權的權利，則期權價值為：

如果該節點處無行權的權利，則期權價值為：e-rT[Pfu+(1-P)fd]，回溯到第一個節點時則為百慕大期權價值

其中P=。

2.2 連續模型

我們考慮由兩類資產（證券）組成的連續貿易金融市場,一種是在t時刻具有瞬時無風險利率為r(t)的無風險資產Q(t)（如債券）;另一類為風險資產（如股票）,在t時刻其價格為S(t),考慮的時間區間為[0,T],0表示為初始時間,T表示為到期日,{S(t):t≥0}是定義在給定的濾子化完備概率空間(Q,F,F(t)t≥0,P)上的隨機過程,{F(t):t≥0}是由S(t)產生的自然濾子,假設S(0)=S是大于零的常數（有關保險精算定價的的概念沿襲文獻［2］［3］）。

假設風險資產（股票）的價格過程{S(t):t≥0}和無風險資產的價格過程{Q(t):t≥0}分別滿足:

其中Bt表示定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的標準Brown運動。S(0)=S,S是大于零的常數,r(t),μ(t),σ(t)是[0,∞]→R上的函數,且滿足

設C(X,T)和P(X,T)分別表示以股票價格S(t)為標的資產,執行價為X,到期日為T的百慕大式看漲和看跌期權的保險精算定價。

對于標的資產不支付中間紅利的百慕大期權定價有如下結論：

定理2.1假設{S(t):t≥0},{Q(t):t≥0}滿足方程（2.3）、（2.4）且風險資產在有效期內無紅利支付,則百慕大期權保險定價公式是：

t1表示第一個可行權的時刻，C1表示相應與該時刻百慕大看漲期權的價值。

t1表示第一個可行權的時刻，P1表示相應與該時刻百慕大看跌期權的價值。

證明：由伊藤引理，隨機微分方程（2.3）有唯一解

（Ⅰ）先對1)式進行證明

設t1,t2,……,tN為可以行權的時刻，把[0,T]分為：0≤t1≤……≤tN=T,實際中不同期權N不同。

當N=2時,即0＜t1＜T在[0,T]內只有t1，T時刻才可以行權；

圖中Y表示執行期權，N表示不執行期權

如上圖所示，在t1時刻或執行或不執行，如果：

(a)t1時刻不執行，則此期權為在[t1,T]上的歐式期權，在t1時刻的價值為C1(X,T-t1)，則：

(b)t1時刻若執行，其執行條件為：S(t1)-X＞C1?S(t1)＞C1+X

按保險精算法其執行條件應為：

那么綜合（a）（b），有：

由于（2.10）式中：

當N＞2時,即t1,t2,……,tN為可以行權的時刻，把[0,T]分為：0≤t1≤……≤tN=T。

圖中Y表示執行期權，N表示不執行期權

同1°中理：

(a)當tN-1時刻不執行，則此期權為在[tN-1,T]上的歐式期權，在tN-1時刻的價值為CN-1(X,T-tN-1),則：

(b)當tN-1時刻若執行，按保險精算法可推得tN-1時刻百慕大期權的價值為：CN-2(X,T-tN-2)

如上依次往前遞推，最終可得出0時刻百慕大看漲期權的價值即為結論1)，即：得證。

同(1)式理可證明(2)式。證明完畢。

對于百慕大期權的定價其它定價法相比較，保險精算定價模型具有以下特點：

一、沒有對金融市場和價格過程作任何限制，計算期權價格時只利用了價格過程在期末時的實際概率分布和公平保費原理,克服了鞅方法定價中尋找等價鞅測度的困難，并且克服了其他模型難求顯式解的困難。

二、與傳統的無套利定價有許多本質的區別:保險精算定價中買權執行條件為而不是S(t1)＞C1+X與期權定價的鞅方法相比較，保險精算方法的不同之處在于：計算數學期望所用的概率測度、期權被執行的條件以及計算可能損失的方式。當金融市場是有套利、非均衡（等價鞅測度不存在）或不完備（等價鞅測度存在但不唯一）鞅方法將不能使用。保險精算方法將期權定價問題轉化為等價的公平保費確定問題，由于無任何經濟假設，所以它不僅對無套利、均衡、完備的市場有效，且對有套利、非均衡、不完備的市場也有效。

3 實證研究

定義3.1權證［7］，是指標的證券發行人或其以外的第三人發行的，約定持有人在規定期間內或特定到期日，有權按約定價格向發行人購買或出售標的證券，或以現金結算方式收取結算差價的有價證券。

權證本質上是期權的一種，百慕大式權證實質就屬于百慕大期權，在我國的權證市場中大部分的權證是百慕大式的，百慕大權證吸收了歐式權證和美式權證的靈活性，更加滿足市場的需求，對其定價就顯得更加重要。本文對中國上海權證市場中2006年以來的所有百慕大式認沽權證和認購權證（合計22種權證）的自發行以來每天的收盤價格作為實際數據，并以MATHLAB作為數學模擬工具對二叉樹模型和保險精算方法分別進行模擬，并與實際進行比較，部分結果如下圖：

通過實證分析我們有如下結論：

首先，我們可以從實證圖形結果很直觀的看出保險精算方法為百慕大權證定價較目前使用的二叉樹方法更接近實際，更能反映實際的市場變化趨勢；對所有的百慕大式認沽權證和認購權證都使用該方法進行分析，其結果說明保險精算定價結果比二叉樹定價結果更接近實際,并且對其中所有數據統計得（總天數為250）:保險精算結果優于二叉樹結果的天數為150的占100%,為180的占92%,為220的占62%,為240的占52%。

其次，我們為了比較保險精算方法和二叉樹方法對于百慕大期權定價與實際誰更接近，采用假設檢驗的方法［8］進行驗證：

對于二叉樹、保險精算每天定價的對數值與實際價格的對數值的差是成對的，即有n對相互獨立的計算結果(α1,β1),(α2,β2),……,(αn,βn),令D1=α1-β1,D2=α2-β2,……,Dn=αn-βn,則D1,D2,……,Dn相互獨立。假設Di～N(μD,),i=1,2,……,n，

這就是說D1,D2,……,Dn構成正態總體N(μD,)的一個樣本，其中μD,未知。我們需要基于這一樣本檢驗假設：H0≥0,H1≤0 （1）

分別記D1,D2,……,Dn的樣本均值和樣本方差的觀察值為ˉ,，那么關于單個正態總體均值的t檢驗知檢驗問題（1）的拒絕域為（檢驗水平為α=0.05）：，由求出t值判斷是否落在拒絕域內來判斷接受H0或H1，接受H0即說明保險精算數據比二叉樹數據更接近實際數據。

例如包鋼認購權證：D1,D2,……,Dn的樣本均值ˉ=0.2281，樣本方差的觀察值為SD=0.3740，現在,即知問題（1）的拒絕域為：

即接受H0，說明包鋼認購權證的保險精算定價結果比二叉樹定價結果更接近實際。

邯鋼認購權證定價比較示意圖

包鋼認購權證定價比較示意圖

最后，保險精算定價模型的條件假設更為自由，更貼近實際，將期權定價問題轉化為等價的公平保費確定問題,由于無任何經濟假設,所以它不僅對無套利、均衡、完備的市場有效,且對有套利、非均衡、不完備的市場也有效。但權證是指標的證券發行人或其以外的第三人發行的，反映的是發行人與持有人之間的一種契約關系，發行人也以追求經濟利益為目的，而且權證的價格往往還要受到權證的市場供求、發行人業績等因素影響，所以造成對于百慕大式認沽權證和認購權證的理論價值有時與實際價格存在一定的差距。

本文對于百慕大期權定價是在標的資產不存在分紅和利率、波動率是時間t的連續函數的假設條件下進行的，標的資產存在分紅和利率、波動率是隨機情形還有待繼續研究。

［1］林建偉.帶跳擴散項的永久百慕大期權定價［J］.莆田學院學報,2005,（4）.

［2］Bladt M,Rydberg H T.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumpions［J］.Insurance:Mathematics and conomics,1998,22（1）:65-73.

［3］閆海峰，劉三陽.廣義Black-Scholes模型期權定價方法——保險精算方法［J］.應用數學與力學，2003,7（7）：730-737.

［4］劉倩,劉新平.外匯期權定價的新方法—保險精算方法［J］.貴州大學學報，2004,（2）.

［5］葉小青，吳永紅.亞式期權的保險精算定價［J］.華中科技大學學報,2005,（3）.

［6］［美］John C.Hull.期權,期貨和其它衍生產品［M］.華夏出版社,2000.

［7］魏宗舒.概率論與數理統計教程［M］.高等教育出版社,1983.

［8］錢敏平,龔光魯.隨機過程論［M］.北京大學出版社,2004.

［9］姜禮尚.期權定價的數學模型和方法［M］.高等教育出版社,2002.

O212.7

：A

：1671-6469（2013）04-0042-06

2013-06-26

昌吉學院科研項目（2011SSQD02）

劉福國（1978—），男，新疆昌吉人，昌吉學院數學系，講師，研究方向：應用數學。