兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度及有限元分析

王南，高鵬，崔國(guó)華，郝麗紅

(1.河北工程大學(xué)機(jī)電學(xué)院，河北邯鄲056038;2.中國(guó)科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院，廣東深圳518055)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度是并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的重要指標(biāo)，并且為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供重要理論依據(jù)。對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的建立精確的剛度模型，成為近年來研究學(xué)者的研究重點(diǎn)。陳吉清等［1］利用螺旋矢量法建立了并聯(lián)機(jī)床剛度的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)并聯(lián)機(jī)床動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了分析。呂亞楠等［2］利用有限元法研究了一種冗余并聯(lián)機(jī)床的靜剛度。李育文等［3］用有限元法分析了一種6-UPS并聯(lián)機(jī)床靜剛度，并且考慮了并聯(lián)機(jī)床的支鏈和機(jī)架的變形。王友漁等［4］借助子結(jié)構(gòu)綜合思想和Ansys參數(shù)化設(shè)計(jì)語言，構(gòu)造了Trivariant和Tricept兩種機(jī)械手的有限元模型，充分考慮了機(jī)構(gòu)中各種鉸鏈對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于不同位形時(shí)的整機(jī)靜、動(dòng)態(tài)特性的有限元快速重構(gòu)技術(shù)。胡波等［5］提出了一種將3-RPS機(jī)構(gòu)的變形和剛度轉(zhuǎn)化為一個(gè)等效無約束反力的6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-RPPS的變形和剛度進(jìn)行分析。

在少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，由于機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)自身的原因，使得機(jī)構(gòu)內(nèi)部存在約束力/約束力矩，從而對(duì)整機(jī)的剛度精度產(chǎn)生重要影響，因此在分析中應(yīng)予以考慮［6］。本文就3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其變種3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立含約束力/力矩的剛度模型，并利用商用有限元軟件Ansys Workbench驗(yàn)證兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型的正確性。

1 系統(tǒng)簡(jiǎn)介

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)是三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。由上下2個(gè)平臺(tái)以及3個(gè)支鏈組成。其中3條支鏈由R、P、S3個(gè)運(yùn)動(dòng)副組成，支鏈通過R副與定平臺(tái)相連，另一端通過S副與動(dòng)平臺(tái)相連，其中驅(qū)動(dòng)力由P副提供。三條支鏈平均分布將動(dòng)、定平臺(tái)連接起來(圖1-a)。3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)是3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變異模型，上、下兩個(gè)平臺(tái)通過3個(gè)SPR支鏈連接。一端由S副連接定平臺(tái)，另一端由R副連接動(dòng)平臺(tái)。其中P副提供動(dòng)力輸出(圖1-b)。

1.1 位置逆解

圖2為兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖。建立笛卡爾直角坐標(biāo)系B-XYZ，以定平臺(tái)的中心點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)B，X軸平行BB1且方向向右，Y軸沿BB2方向，Z軸垂直于面B1B2B3且向上。以動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)A建立動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)-uvw，u軸方向AA1且方向向右，v軸沿AA2方向，w軸垂直于面A1A2A3且向上。

設(shè)定A點(diǎn)的初始坐標(biāo)為(0，0，H)，動(dòng)平臺(tái)的任一位形可描述為動(dòng)平臺(tái)繞u軸旋轉(zhuǎn)α，繞v軸旋轉(zhuǎn)β，w方向的位移ZA。

封閉向量Li為

式中:qi-桿長(zhǎng);li-沿桿方向的矢量;Ai-點(diǎn)Ai在B-XYZ坐標(biāo)系中的位矢;-動(dòng)平臺(tái)上Ai的坐標(biāo)變化齊次矩陣。

由于機(jī)構(gòu)本身的約束關(guān)系，可以得到

聯(lián)立式(1)、式(2)、式(3)得桿長(zhǎng)qi為

1.2 雅可比矩陣的求解［7］

設(shè)動(dòng)平臺(tái)的速度為V，則

則微動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)映射雅可比矩陣JA為

ri球鉸各點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的矢徑

球鉸點(diǎn)S的速度矢量AVi可表示為

AVi在R的投影Vui=0，可得

則可得到約束映射矩陣JC

并可得到完整的映射矩陣

1.3 剛度矩陣的求解

各分支在驅(qū)動(dòng)力Fai和約束反力Fpi的作用下產(chǎn)生變形，設(shè)約束反力Fpi產(chǎn)生的變形δri沿ri方向，可以得到

式中:A-桿的橫截面積;Ee-彈性模量;ki-各分支的剛度系數(shù)。

由于δri很小，其方向可以看作是沿Fpi方向，也就是R副的方向，可知

式中:EeI-分支的彎曲剛度;I-分支的慣性矩。

得到機(jī)構(gòu)的剛度矩陣K為

由于3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)與3-RPS的結(jié)構(gòu)類似，推導(dǎo)雅可比矩陣的過程同上。在剛度模型中，由于S副位于其支鏈的下面，其變形情況也與3-RPS類似，推導(dǎo)過程略。

2 數(shù)值算例

給定參數(shù)RB=100 mm，RA=80 mm，初始高度H=75 mm，

由兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度可以發(fā)現(xiàn)(表1)，Z方向的剛度值總比其它兩個(gè)方向大，并且3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度比3-RPS的剛度要大。

3 有限元分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型是位形的函數(shù)，因此在應(yīng)用有限元軟件對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析時(shí)，定會(huì)針對(duì)不同位形對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行有限元分析［8］。利用Solidworks三維實(shí)體建模軟件建立兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)體模型，利用軟件自身的裝配將并聯(lián)機(jī)構(gòu)按照實(shí)際情況裝配到一起。根據(jù)桿長(zhǎng)，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)調(diào)整到需要的位姿，然后導(dǎo)入到Ansys Workbench中，按照并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副設(shè)置其連接條件。兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的材料按照彈性模量E=2.11e11 Pa，泊松比γ=0.3，屈服極限δ=350 MPa。整機(jī)模型采用四面體和六面體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，單元數(shù)目為14 368，節(jié)點(diǎn)數(shù)為51 153。外載荷F=［10 -15 20］N，M=［-20 10 15］N/m。

表2中列出了兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位形時(shí)的變形情況。結(jié)合表1可以看到理論分析值與有限元分析的結(jié)果的極為相近，說明剛度模型的準(zhǔn)確性。縱向?qū)Ρ缺?中位置Ⅰ位置Ⅱ位置Ⅲ的變形云圖，Z方向的剛度總比其余兩個(gè)方向大，即兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)承受Z方向載荷能力強(qiáng)于其余兩個(gè)方向。從兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的X方向變形云圖中可以看出，兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位形時(shí)，3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在X方向的剛度均略大于3-PRS，跟理論分析的結(jié)果一致。

表1 兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度Tab.1 Static stiffness of the two parallel mechanism N/m2

表2 兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)各向變形云圖Tab.2 Each direction deformation of the two parallel mechanism

4 結(jié)論

有限元軟件驗(yàn)證結(jié)果表明，3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度性能優(yōu)于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度性能，兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Z方向剛度均比X、Y兩個(gè)方向的剛度大。

［1］陳吉清，蘭鳳崇.Stewart并聯(lián)機(jī)床瞬時(shí)剛度分析與應(yīng)用［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，31(4):482-486.

［2］呂亞楠，王立平，關(guān)立文，等.一種冗余并聯(lián)機(jī)床靜剛度有限元分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2008，2(2):1-3.

［3］李育文，張華，楊建新，等.6-UPS并聯(lián)機(jī)床靜剛度的有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2004，15(2):112-115

［4］王友漁，趙興玉，黃田，等.可重構(gòu)混聯(lián)機(jī)械手Trivariant和Tricept的靜動(dòng)態(tài)特性預(yù)估與比較［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，40(1):41-45.

［5］胡 波，路懿.求解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的新方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(1):24-29.

［6］劉樹青，吳洪濤.一種新型起重機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與應(yīng)用［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25(2):58-61.

［7］王南，張莉婷，郝莉紅.空間3-UPU/UPU機(jī)構(gòu)的剛度分析［J］.河北工程大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，29 (3):85-87.

［8］LU Y，HU B.Analyzing kinematics and solving active/ constrained forces of a 3SPU+UPR parallel manipulator［J］.Machine and Mechanism Theory，2007，42 (10):1298-1313.