淺談構造法在數學分析中的應用

李生彪

摘 要 本文研究在數學分析課程的教學中，構造法在定理論證、反例構想、不等式證明等方面的一些應用。

關鍵詞 構造法 數學分析 應用

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

On the Application of Construction Method in Mathematical Analysis

LI Shengbiao

（Lanzhou University of Arts and Sciences， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract This paper studies in mathematical analysis teaching， some application of construction method in theorem proof， counterexample， inequality proof of concept.

Key words construction method； mathematical analysis； application

0 引言

在數學分析課程中，定義、定理和習題中有大量的存在性問題， 證明存在性命題，構造法是經常用到的一種方法。構造法根據題設的條件，先構造一個輔助函數，使該輔助函數符合另一個已經證明成立的定理，從而使所求證的命題得以證明。然而，構造法一般無章可循，具有很大的靈活性，沒有固定的模式，因此，如何才能設計和構造一個恰當的輔助函數，這是構造法的關鍵所在。筆者在講授數學分析中微分中值定理等問題時，針對問題的具體特點，總結出一些構造輔助函數的規律。本文將結合實例具體介紹這一方法及其應用。

1 構造法在定理證明中的應用

1.1 還原法

還原法證明定理的關鍵是構造一個輔助函數，構造方法一般從定理的結論出發，通過對已知和結論的分析，構造出輔助函數。具體的構造方法如下：將欲證結論中的換成，然后對等式兩端積分，再移項，使等式一端為常數，則等式的另一端即為輔助函數。

例1 設 （），（）在[]上是連續函數，證明存在（）使 （）（） = （） （）。

分析過程：將結論中的換成有

（）（） = （） （），移項得

（）（）（） （） = 0。

即有（ （）·（）） = 0，

兩端積分得 （）·（） = 。

即構造輔助函數（） = （）·（）。

證明：作輔助函數（）= （）·（），顯然（）在[]上連續，在（）內可導，且有（）= 0 = （），故滿足羅爾定理的三個條件。由羅爾定理的結論有，在（）內至少存在一點，使得（） = 0，可得 （）（）（） （） = 0，即 （）（） = （） （）。

1.2 微分方程法

在此介紹構造輔助函數的另一種常見方法 ——微分方程法，下面結合實例介紹這一方法及其應用。

例2 設函數 （）在[0，1]上連續，在（0，1）內有二階導數，證明存在（0，1）使 （1）2 （） + （0） = （）

分析過程：將結論中的換成并變形有，（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，記 = 4[ （1）2 （） + （0）]得二階微分方程（） = ，解微分方程可得其通解為： （）= + +，作輔助函數（） = （）。為了使得（）滿足羅爾中值定理的條件，需令（0）=（）=（1）=0，可求得， = （1） （0）， = （0）。故構造輔助函數（） = （） （ （1） （0）） （0）。

證明：記 = 4[ （1）2 （） + （0）]。

作輔助函數（） = （） （ （1） （0）） （0）。顯然（）在[]上連續，在（）內可導，且（0）=（）=（1） = 0，故滿足羅爾定理的三個條件。由羅爾定理有，存在（0，），（，1）使得（）=（）= 0，再次使用羅爾定理存在（，）（0，1），使得（）= 0，即（）= ，即（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，整理得 （1）2 （） + （0） = （）。

2 構造法在構造反例中的應用

數學分析的學習過程，是一個不斷引出問題和解決問題的過程。而解決問題的過程通常是給出證明或舉出反例的過程，因而構造反例在數學分析的學習中占有重要的地位。

例如，我們知道二元函數 （）在點（，）處沿任意方向的方向導數都存在且相等，但 （）不一定在點（，）處連續，可微，甚至在點（，）處連二重極限也可能不存在，那么如何構造出一個這樣的二元函數呢？

由數學分析的知識知方向導數只和直線上點（，）的某線性鄰域∣∣= 有關，存在即可。因此，我們構造的函數要滿足：①對于>0，在點（，）的任一鄰域∪（，），從發出的任一方向上的都存在且相等。②在處 （）的極限不存在。這就要求在鄰域∪（，）內既要有使相等的線性鄰域，又要有使函數值不相等的點。依此，我們可構造該函數。因為 （0，0） = 0，所以。但在點（0，0）的任意鄰域內，總能找到使 （） = 1的點，這就說明 （）在點（0，0）處的極限不存在，也就不連續，不可微了。

3 構造法在不等式證明中的應用

利用構造法證明不等式，通常是依據所證的不等式先構造出一個輔助函數，再利用導數這一工具證明不等式。

例3 設函數 （）在[]上可導，且 （）≤， （） = 0。

求證： （）≤。

證明：構造輔助函數（）= （），（<<），則（）= （）（），（） = （）≤0，有（）是單調遞減函數，又因為（）= （）（） = （），所以當≥時，（）≤（）= 0，有（）是單調遞減函數，又因為（）= （） = 0，所以（）≤（）= 0。即 （）≤0，故 （）≤。

構造法在數學分析的證明中有著廣泛的應用，在數學分析的授課過程中適當的應用構造法解決問題，對提高學生數學思維能力、啟發學生創新能力是很有意義的。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：109-150.

[2] 許金泉，淺談數學分析中構造法的應用[J].惠州學院學報（自然科學版），2005.25（6）：104-107.