關于復變函數和數學分析主要內容的類比

楊吉英

（普洱學院數學系，云南普洱665000）

關于復變函數和數學分析主要內容的類比

楊吉英

（普洱學院數學系，云南普洱665000）

復變函數是數學分析中的微積分在復數域上的推廣.在教學過程中，類比復變函數和數學分析中的主要內容，能加深對新舊概念的掌握，完善學生知識結構，提高學生的創新能力.

復變函數；數學分析；類比

復變函數是數學分析的后續課程，是數學分析中關于實函數的連續、微分、積分和級數等理論在復數情形下的延續.在教學中應當勤于比較和善于比較，既要重視共性，又要抓住不同點，切實關注在推廣到復數域后出現了什么樣的新情況新問題，探討出現新問題的原因，只有這樣才能理解概念的本質，融會貫通.下面從函數、極限、導數、積分、級數五個方面類比了復變函數和數學分析.

設y=f(x)是定義在區間I上的實函數（其中x∈I），而w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（其中z=x+iy∈D,x,y∈R）是定義在z平面上的區域D上的復變函數.

1 函數

聯系：復變函數的定義，形式上和數學分析中單元函數的定義一樣，只是自變量取的是復數.對一個復變函數w=f(z)的研究可以轉化為對兩個二元實函數u(x,y),v(x,y)的討論.

區別：

1.1 實函數y=f(x)的自變量是實數，它反映兩個實數軸x軸和y軸上點集的對應關系，用一個平面上的一條曲線就可以直觀的表示.而復變函數w=f(z)的自變量是復數，復數不能比較大小，在映射f的作用下，把z平面上的點集D映成w平面上的點集G，因而需要用兩個復平面來表示.在復變函數中，不再區分函數、映射和變換，而是把它們都看做是z平面上的點集D與w平面上的點集G之間的一種對應.

1.2 復變函數中對函數多值性的研究是明顯不同于數學分析中函數性質的討論.

1.3 初等解析函數是一元實初等函數在復數域上的推廣，但是推廣了后出現了許多新性質，如復指數函數w=ez在整個復平面上是不等于零的，而且它是以2πi為基本周期的周期函數，即ez=ez+2πi，k是整數，但實指數函數沒有周期性.復正弦余弦函數sinzcosz在z平面上是無界的，而實正弦余弦函數sinxcosx在R上是有界的.

1.4 復變函數中我們主要研究的對象是解析函數，函數的解析類似于數學分析中的可導或可微，但要比可導或可微更強.w=f(z)在z0∈D處解析是指，在該點可微且在該點的某鄰域內的每一點都可微，而w=f(z)在D上解析是指在D內的每一點都可微.從而就會出現只在某個孤立點或一條直線上可微，但在z平面上處處不解析的情況.定義在單連通區域D上的解析函數具有無窮可微性，即只要解析函數f(z)在D內一階可導，則在D內f(z)的任意階導數都存在，且其各階導數的內部值可以用解析函數f(z)的邊界值來表示.

2 極限

聯系：不管是在復數域還是實數域，研究函數的連續性、微分、積分和級數的工具都是極限.復變函數極限和連續的定義和實函數極限和連續的定義在形式上是一致的，運算法則和性質都相似，而且都是借助極限的概念來定義函數的連續性.此外，研究復變函數的極限和連續性問題可以轉化為研究兩個二元實變函數（其實部和虛部）的極限和連續的相應問題.

區別：

3 導數

聯系：復變函數的導數和可導性、微分與可微性是利用類比的方法從一元實變函數的相應概念推廣到復數域后得到的，它們在形式上與一元實變函數的導數、微分是一致的.

區別：

3.1 實變一元函數的可導和可微是等價的，實變二元函數的兩個偏導數存在且連續，才能推出該函數是可微的.而判定復變函數f(z)在z（0或區域D）可導的充要條件中，不僅要求實部u(x,y)和虛部v(x,y)是可微的或偏導存在且連續，還要求u(x,y)和v(x,y)必須滿足Cauchy-Riemann條件即其根本原因是其根本原因是f(z)在z 0點可導，由導數的定義可知，極限與z→z0的方式無關.

3.2 復變函數的導數的定義的形式上看，f'(z0)也刻畫了f(z)的值在z0處隨自變量變化的快慢程度.但f'(z0)是一個復數，復數不能比較大小，因此，變化的“速率”應當用模|f'(z0)|表示，從這個意義上可以說f'(z0)表示了函數f(z)在z0處的“變化率”.事實上，根據解析函數導數的模的幾何意義可知，|f' (z0)|表示過z0的曲線經映射w=f(z)后在z0處的伸縮率，它刻畫的是該函數在z0處的一種變化率.

3.3 一元實變函數的微分中值定理能不能直接推廣到復數域上.一元實變函數的微分中值定理是以Fermat引理為證明的理論基礎，但在復數域中沒有極值點的概念，也就是說Fermat引理在復數域內是不成立的.Rolle定理在復數域上是不成立，但可以把一元實函數的Lagrange中值定理，Cauchy中值定理推廣到二元實函數上，再推廣到復數域上.下面僅以Rolle定理為例來說明.

Rolle定理設y=f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導且f(a) =f(b)，則至少存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.

該定理不能直接推廣到復數域上的原因主要有以下兩點：

（1）復變函數w=f(z)在某點處連續和可導是在該函數定義在z0的某個領域上討論的，僅在實軸或虛軸的某個區間上不能討論連續性與可導性.即使定義在復平面內某個以z1和z2為端點的線段上也不行.

（2）若將Rolle定理的前兩個條件放寬為f(z)在復平面的某區域D內解析，將第三個條件f(a)=f(b)改為f(z)在D內某線段的兩個端點z1與z2上相等，結論也不一定成立.如設f(z)=ez，復指數函數在z平面上是解析，且以2πi為基本周期即ez=ez+2kπi，k是整數，但由于(ez)'=ez≠0，所以在以z1與z2為端點的線段內，不存在一點z使得(ez)'=0，故Rolle定理不成立.

4 積分

聯系：復變函數的積分和實函數的積分，從定義上看，都是分割、取近似值、求和、取極限的思路.復變函數的積分與實變函數的定積分的計算規則與基本性質基本相同，復變函數積分中還有與微積分學中的基本定理和Newton-Leibniz公式相對應的結論.復變函數的積分∫cf (z)dz與數學分析中的第二類線積分有不少相似之處，如：積分路徑C是D內的分段光滑的有向線段，當被積函數給定后，積分值不僅與C的起點和終點有關還與積分路徑C有關.

區別：

4.1 復積分和第二類線積分的積分和式的結構不同，復積分和式中的每一項都是兩個復數的乘積，而第二類線積分的積分中的每一項都是兩個向量的數量乘積，而且兩者的積分表達形式不同.

4.2 由原函數存在定理可知只要被積函數是積分區間上的連續函數都可以應用Newton-Leibniz公式求定積分，而對復變函數而言，要應用Newton-Leibniz，需要被積函數f(z)在單連通區域D內連續且處處解析的時，才有-F(z1)，z1和z2必須在單連通區域D.

4.3 復變函數的積分實質上是z平面上的線積分，從而也就有了周線積分的問題，相應的就有cauchy積分定理、復合閉合定理、cauchy積分公式、高階導數公式等.

5 級數

聯系：Weierstrass級數理論是實變級數理論的推廣，復數列的斂散性可以由兩個實數列的斂散性確定，復級數的斂散性可以由兩個實級數的斂散性確定，因此數學分析中關于實級數斂散性的判別方法和技巧都可以在復數域上應用.

區別：

5.1 復函數展成Laurent級數的條件比實函數展成Taylor級數的條件要弱，只需要復函數f(z)在z0處解析即可.而實函數f(x)在x0處展成Taylor級數，需要在x0處的任意階導數存在.實函數中要求Taylor公式中的余項趨于零，而對解析函數而言，余項自然趨于零.因此，復變函數展成Taylor級數的應用范圍就比實變函數情形要更廣.

5.2 實變級數理論在復數域上推廣后，出現了兩種級數Taylor級數和Laurent級數.Laurent級數是Taylor級數的推廣，一個函數的解析性由Taylor級數刻畫，而Laurent級數刻畫了函數的奇性.

在復變函數教學過程中，引導學生對復變函數和數學分析的主要內容進行類比，這樣不僅能夠提高學生原有知識準備水平和概括水平，而且還能促進學生正遷移的發生，提高學生的自主學習能力和創新能力.

〔1〕鐘玉泉.復變函數論（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2003.

〔2〕余家榮.復變函數（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2000.

〔3〕華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2001.

O174.5

A

1673-260X（2013）09-0012-02