《初等數(shù)論》課程教學改革探析

曾福庚

(瓊州學院理工學院，海南三亞572022)

0 引言

數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門很古老的數(shù)學分支，其初等部分是以整數(shù)的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分數(shù)、素數(shù)(即整數(shù))分布以及數(shù)論函數(shù)等內(nèi)容，統(tǒng)稱初等數(shù)論(elementary number theory)［1］.我國師范類院校大都開設(shè)有這門課程.本校初等數(shù)論［2］是數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)必修課，這門課程在大學第6－7學期開設(shè)，教學時數(shù)為72學時.與其它數(shù)學專業(yè)課程比較來看初等數(shù)論似乎很簡單，但真正教好、學好它并不容易.

本校數(shù)學專業(yè)主要以培養(yǎng)中小學教育人才為主，初等數(shù)論的內(nèi)容與中小學教學以及奧數(shù)聯(lián)系非常緊密.提高初等數(shù)論課程的教學水平和質(zhì)量，一方面，對學生進一步的學習和畢業(yè)后的科學研究和實踐有重要意義;另一方面，可以提高學生的邏輯思維能力，并且使他們能比較扎實地在較高層次上掌握中小學數(shù)學的一些知識，進而提高他們的教學能力.

此外，初等數(shù)論的理論和方法已廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代密碼學、算子理論、代數(shù)編碼、最優(yōu)設(shè)計、計算方法、組合代數(shù)及信息科學等諸多領(lǐng)域.因此，學習這門課程對學生來說非常重要.

目前高等院校中的初等數(shù)論課程教學內(nèi)容相對陳舊，教學方法比較單一.而且在日常生活中的應(yīng)用不明顯.這些問題對于提高數(shù)論的教學質(zhì)量而言十分不利.同時對培養(yǎng)具有靈活思維能力、具有創(chuàng)造力的未來中小學數(shù)學教師也更加不利.為此，本文針對初等數(shù)論課程的特點.從教學內(nèi)容、教學方法和教學手段三方面對數(shù)論課程的教學改革進行了探討.

1 教學內(nèi)容的改進

在教學過程中，要有重難點分析.突出與實際生活聯(lián)系密切的教學內(nèi)容，淡化傳統(tǒng)教學內(nèi)容的陳舊部分.突出教材中與中小學數(shù)學聯(lián)系緊密、能夠啟迪學生思維、經(jīng)常用于競賽數(shù)學命題的章節(jié)，如奇數(shù)與偶數(shù)、整除、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、不定方程求解、同余理論、進制、歐拉函數(shù)、費馬定理等知識點的教學.此外，在培養(yǎng)學生興趣方面，介紹同余理論的時候可以引入密碼學的相關(guān)知識，如講述凱撒密碼和RSA密碼體制.

2 教學方法的改進

基礎(chǔ)數(shù)學對大多數(shù)人來說，是一門枯燥乏味的學科.因而要調(diào)動學生的學習積極性，就要采用各種手段使他們喜歡上學數(shù)學.

2.1 增加數(shù)學史的知識 高斯曾經(jīng)說過:“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學中的皇冠”.數(shù)論中一些未解決的難題被稱為“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)フ?初等數(shù)論的萌芽、發(fā)生、發(fā)展直到完善，經(jīng)歷了一個漫長的時期，這其中有著很多數(shù)學家的貢獻.甚至有的數(shù)學家為了堅持真理，獻出了畢生的精力.在授課過程中，講到某一部分時，可以把這一時期一些數(shù)學家的貢獻、小故事講給學生.例如，講質(zhì)數(shù)時，介紹哥德巴赫猜想，該猜想后來被希爾伯特列為世界上23個數(shù)學難題之一，猜想的論證過程更是充分地體現(xiàn)了合作精神的重要性，我國著名數(shù)學家陳景潤于1966年證明了“1+2”是迄今為止世界上的最好結(jié)果;講不定方程時，可以給同學們介紹中國是研究不定方程最早的國家，比古希臘數(shù)學家丟番圖研究不定方程求解的問題至少早了200年.公元初的五家共井問題是一個不定方程組問題，公元5世紀的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究.講同余方程時，介紹我國的《孫子算經(jīng)》是世界上最早提出同余方程的著作;此外，進行整數(shù)及相關(guān)內(nèi)容的學習時，可適當?shù)亟榻B我國著名數(shù)學家華羅庚、陳景潤、潘承洞及王元等在數(shù)論發(fā)展方面所取得的卓越成就，這些數(shù)學史中都包含很多有趣的故事.實踐證明，把這些數(shù)學史的內(nèi)容穿插到初等數(shù)論教學中，可以提高學生學習數(shù)學的興趣，從而對數(shù)學不感到那么枯燥乏味.

2.2 運用類比法［3］初等數(shù)論中，有相當多的知識內(nèi)容是適宜用類比法組織教學的，譬如可將整數(shù)的整除性理論與一元多項式的整除性理論作類比，將最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)作類比，將同余式性質(zhì)與等式的性質(zhì)作類比，將剩余類的運算和性質(zhì)與數(shù)的運算和性質(zhì)作類比，將一次同余方程(組)與一次方程(組)進行類比等等.在介紹新概念、新方法和新結(jié)論及其證明的過程中，將新知識和學生已有的知識進行類比聯(lián)系，新知識的出現(xiàn)和探究會顯得較為自然，學生接受起來相對輕松、容易，無形中降低了學生的認知難度，同時也增加了學習的趣味性.例如筆者在傳授孫子定理時，會將孫子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagrange插值公式聯(lián)系起來，首先列入建立插值公式一節(jié)，這樣有助于學生加強注意有關(guān)內(nèi)容聯(lián)系的意識.

2.3 啟發(fā)式教學法 數(shù)論課程的傳統(tǒng)教學普遍采用的基本模式是“嚴格的邏輯推理”，而忽視問題的來龍去脈.教材采取的基本格式大多數(shù)是“概念—定理—推論一實例”，內(nèi)容的完整性、系統(tǒng)性強，但學生抓不住重點與難點，難以激發(fā)他們學習的積極性、主動性，從而導致多數(shù)學生無法領(lǐng)悟知識的真正內(nèi)涵.啟發(fā)式教學不僅能夠提高學生理解和接受新知識能力，而且還能提高學生分析和解決實際問題的能力，同時有利于加強學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).這種教學模式的優(yōu)點是加強了師生的互動性［4］.例如:在講費馬小定理時可以從實際的計算整數(shù)高次冪的同余問題引入重要的費馬小定理，然后仔細地討論歷史上著名的尋找完全數(shù)的問題。這個問題雖然古老，但卻是一個將唯一分解，正約數(shù)之和函數(shù)以及同余理論串起來的熱點問題，它很好地解釋了整除理論的用處、梅森素數(shù)的來源以及同余在簡化計算上的作用.接下來為了推廣費馬小定理，很自然地引入歐拉函數(shù)，歐拉定理和原根.這樣，就能使學生真正理解課本上形式化推理體系背后所包含的實際內(nèi)涵.

2.4 引入雙語教學［5］雙語教學［6］是完成基礎(chǔ)英語學習后向?qū)I(yè)英語過渡的橋梁，目標顯然是提高學生的(專業(yè))外語能力和閱讀(專業(yè))英文文獻的能力，培養(yǎng)和造就基礎(chǔ)理論寬厚、專業(yè)知識扎實、外語交流通暢的復合型人才.通過雙語教學使數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)學生掌握初等數(shù)論的基本知識，達到一般普通本科院校中文教學的要求，同時，能比較熟練的用英語表述數(shù)論問題，閱讀數(shù)論書籍，并能熟練應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)資源了解國際數(shù)論研究的成果.此外，在雙語教學過程中，提高教師的英語能力和科研能力，形成“以教促研、以研促教”的教學科研局面，打造一支團結(jié)協(xié)作、銳意進取、與國際接軌、富有創(chuàng)新能力的高素質(zhì)教學科研隊伍.

3 教學手段的改進

3.1 應(yīng)用多媒體技術(shù)［7］多媒體教學直觀生動，圖文并茂，能夠培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，增加學生的學習興趣.數(shù)學是集嚴謹性、邏輯性、創(chuàng)造性于一身的科學，而通過多媒體課件可以合理安排課堂信息量，掌握好課堂時間節(jié)奏，逐漸讓學生適應(yīng)多媒體課堂教學的氣氛，同時，也可與學生進行適當?shù)幕樱皶r掌握學生對授課內(nèi)容的知識的渴望.當然應(yīng)用多媒體技術(shù)的同時不能忽略傳統(tǒng)教學手段，實踐證明，數(shù)學這門學科，必須將現(xiàn)代化教學手段與傳統(tǒng)教學手段互補，才能充分發(fā)揮其作用.一些定理的證明、題目的演算推導過程、做題中需要注意的地方，這些東西還是用板書在黑板上演示效果會更好一些.學生可以更好地體會做題的思路、步驟.在初等數(shù)論教學過程中，堅持“以學生為中心，教師為主導，手段為輔助”的原則，充分將傳統(tǒng)的教學模式與多媒體教學有效結(jié)合起來，做到手段服從內(nèi)容、方法服從效果，這樣才能在有限的課堂教學時間里，最大限度地發(fā)揮傳統(tǒng)教學與多媒體課件在提高教學質(zhì)量方面的作用.

3.2 嘗試多教師分段教學 傳統(tǒng)的教學安排是一名教師教授一個班級一個學期的初等數(shù)論課程.與傳統(tǒng)的教學相比，多教師分段教學是指:安排2名左右教師按照一定的順序教授一個班級一個學期的該門課程的各章節(jié)內(nèi)容.當然，前提是這些教師之間分工明確，教學目標相同，教學方法要各有所長，最后才能達到該門課程的終極目標.該教學方式的好處在于不僅可以發(fā)揮各任課教師的專項長.初等數(shù)論多教師分段教學可以這樣分配任務(wù)，一名教師主要致力于中小學數(shù)學人才培養(yǎng)介紹基本的理論知識，另一名教師則主要介紹與其他學科交叉的更高深的知識.通過不同任課教師的不同的教學方法，讓學生保持對這門課程的新鮮感，有效阻止了學生學習過程的審美疲勞，達到提高課堂教學質(zhì)量的目的.

4 結(jié)束語

數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學是瓊州學院本科辦學的最早專業(yè)之一，專業(yè)的發(fā)展已初具規(guī)模而且正在一步一步地完善.初等數(shù)論作為一門基礎(chǔ)性的課程，其教學質(zhì)量直接關(guān)系到中小學教師人才的培養(yǎng).根據(jù)瓊州學院設(shè)立“國際化、開放型、特色鮮明的品牌大學”的宏偉目標的指導方針，加強課程隊伍建設(shè)，繼續(xù)應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)深化教學改革，使初等數(shù)論課程成為具有學院特色，深受學生喜愛的教學示范課程.

［1］閔嗣鶴，嚴士健.初等數(shù)論(第3版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學出版社，1992.

［3］謝紅梅.淺議初等數(shù)論教學中如何踐行類比法［J］.數(shù)學教學研究，2012(6):61－65.

［4］邱雙月.高等師范院校初等數(shù)論課程改革一得［J］.中國成人教育.2010(15):172－173.

［5］李甜甜.數(shù)學雙語教學方法的探討.遼寧教育行政學院學報，2008，25(10):104－104.

［6］鄭大湖.我國高校雙語教學研究十年:回顧與展望［J］.外語界，2013(1):54－61.

［7］李艷軍，臧雨亭.高等教學中的多媒體技術(shù)應(yīng)用［J］.科技文匯(下月刊)，2009(7):102.