學(xué)好“實(shí)數(shù)”的幾個(gè)要點(diǎn)

“實(shí)數(shù)”是同學(xué)們進(jìn)入初中以來(lái)數(shù)的第二次擴(kuò)充，本章之前的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是在有理數(shù)范圍內(nèi)討論的，學(xué)習(xí)本章之后，將在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究問(wèn)題. 實(shí)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解直角三角形等知識(shí)的基礎(chǔ)，要學(xué)好本章內(nèi)容應(yīng)注意以下幾個(gè)要點(diǎn).

一、 三對(duì)概念的區(qū)別與聯(lián)系

1. 平方根與算術(shù)平方根

區(qū)別：①定義不同：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根. 正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0；

②根的個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，而一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)；

③表示方法不同：一非負(fù)數(shù)a的平方根表示為±■，而其算術(shù)平方根則表示為■.

④根的取值不同：正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；正數(shù)的平方根則是一正一負(fù)且互為相反數(shù). 聯(lián)系：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根其實(shí)是這個(gè)數(shù)的平方根中的一個(gè). 0的平方根也是0的算術(shù)平方根.

2. 平方根與立方根

區(qū)別：①符號(hào)表示不同：用符號(hào)表示平方根時(shí)，根指數(shù)2可以省略，而在立方根的表示中則不能省略，一個(gè)數(shù)的平方根表示為±■，而一個(gè)數(shù)的立方根表示為■；

②只有非負(fù)數(shù)才有平方根，而所有實(shí)數(shù)都有立方根；

③根的個(gè)數(shù)不同：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而正數(shù)的立方根只有一個(gè).

聯(lián)系：都是開(kāi)方運(yùn)算，都與相應(yīng)的乘方運(yùn)算互為逆運(yùn)算，0的平方根與立方根都是0.

3. 有理數(shù)與無(wú)理數(shù)

有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

例1 在下列實(shí)數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（ ）.

A. 2 B. 0 C. ■ D. ■

【分析】■是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)，2和0是整數(shù)，是有理數(shù)，■是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù). 故選C.

【點(diǎn)評(píng)】在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一特點(diǎn)，常見(jiàn)的有：（1） 開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如■，■等；（2） 有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如■+1等；（3） 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.101 001 000 1…. 判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，不能只看形式，要看運(yùn)算結(jié)果，如■是有理數(shù)，而不是無(wú)理數(shù). 所有的有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無(wú)理數(shù)則不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式.

二、 實(shí)數(shù)分類(lèi)

按分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的不同，可以對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行不同的分類(lèi).

實(shí)數(shù)有理數(shù)正有理數(shù)0負(fù)有理數(shù)？搖無(wú)理數(shù)正無(wú)理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)？搖

實(shí)數(shù)有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)0負(fù)整數(shù)？搖

分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)？搖？搖無(wú)理數(shù)正無(wú)理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)？搖

實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)0負(fù)實(shí)數(shù)

三、 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù). 對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.

例2 如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. a

C. a>b D. ab>0

【分析】根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷出a、b的符號(hào)，再比較出其大小即可.

【解答】∵b在原點(diǎn)左側(cè)，a在原點(diǎn)右側(cè)，∴b<0，a>0.

∴a>b，故A、B錯(cuò)誤，C正確；∵a、b異號(hào)，∴ab<0，故D錯(cuò)誤. 選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)大小比較及數(shù)軸的特點(diǎn)，熟知數(shù)軸上各數(shù)的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵.

四、 能用有理數(shù)來(lái)估計(jì)無(wú)理數(shù)的大致范圍

求無(wú)理數(shù)的近似值有兩種估算的方法：（1） 利用夾逼的辦法，用不足近似值和過(guò)剩近似值來(lái)估計(jì)它的大小，根據(jù)精確度的要求可以連續(xù)進(jìn)行得到無(wú)理數(shù)的越來(lái)越精確的近似值；（2） 直接用計(jì)算器求值，利用計(jì)算器的計(jì)算功能可提高估算的實(shí)效性.

例3 設(shè)a=■-1，a在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，則這兩個(gè)整數(shù)是（ ）.

A. 1和2 B. 2和3

C. 3和4 D. 4和5

【分析】先對(duì)■進(jìn)行估算，再確定■是在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，然后計(jì)算■-1介于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間. ∵16<19<25，∴4<■<5，∴3<■-1<4，∴3

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，注意首先估算無(wú)理數(shù)的值，再根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算. 現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要估算，估算是我們應(yīng)具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.