勾股定理問題求解中的思想方法

數(shù)學思想方法通常隱藏在問題之后，說不清、道不明. 但解題時缺少數(shù)學思想方法的支持，往往問題思路不容易突破. 下面結合勾股定理典型習題的求解，跟同學們一起體會解決這些問題背后的思想方法.

一、 感受轉化思想

例1 一個三級臺階如圖1，它的每一級的長、寬和高分別等于5 cm，3 cm和1 cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物. 請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階表面爬到B點，最短線路是多少？

【分析】首先將三個臺階表面展成平面，再利用勾股定理求解.

解：由于螞蟻是沿臺階的表面由A爬行到臺階的右下角，故需把三個臺階展開成平面圖形（如圖2）. 把三個臺階展開成平面圖形后，可知AC=5，BC=12. 在Rt△ABC中，因為 AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13. 故螞蟻爬到B點的最短線路是13 cm.

【點評】解決幾何體上的最短路線問題，需把幾何圖形展成平面圖形，利用“兩點之間線段最短”以及勾股定理來解決.

二、 積累配方策略

例2 如果△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷△ABC的形狀.

【分析】要判斷△ABC的形狀，需要找到a、b、c的關系，而題目中只有條件a2+b2

+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題.

解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，

所以（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0.

因為（a-3）2≥0，（b-4）2≥0，（c-5）2≥0，

所以a=3，b=4，c=5.

因為32+42=52，所以a2+b2=c2.

由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.

三、 體會數(shù)形結合

例3 在學習勾股定理時，我們學會運用圖3（Ⅰ）驗證它的正確性. 圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2

+4■ab，即（a+b）2=c2+4■ab，由此推出勾股定理a2+b2=c2. 這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”.

（1） 請你用圖3（Ⅱ）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；

（2） 請你用圖3（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證（x+y）2

=x2+2xy+y2；

（3） 請你自己設計圖形的組合，用其面積表達式驗證：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq

=x2+（p+q）x+pq.

【分析】這是一道設計比較新穎，與圖形的組合驗證數(shù)學關系式有關的題目.實際上是對課本知識的一個拓展. 涉及勾股定理和整式的乘法兩個方面的知識，掌握好圖形面積的計算方法，不難組合成與表達式相符合的圖形.

解：（1） 圖3（Ⅱ）大正方形的面積可表示為c2，也可以表示為4■ab+（a-b）2，即c2 =4■ab+（a-b）2，由此可推導出c2=a2+b2；

（2） 用圖3（Ⅲ）所給的四個圖形拼一個邊長為（x+y）的正方形即可，如圖4所示；

（3） 只要一個邊長為x的正方形，一個長為q、寬為p的長方形，一個長為q、寬為x的長方形和一個長為p、寬為x的長方形（如圖5）；拼成一個長為（x+q），寬為（x+p）的大長方形即可（如圖6，請同學們仿照我的拼法，自行驗證）.

【點評】拼圖驗證關系式問題，是一種比較重要的題型. 更為重要的是，本題體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，這也不難理解，為什么這么重要的勾股定理一定要安排到八年級才學習，這是因為只有具備了整式乘除、因式分解、等式的運算基礎后，才能在數(shù)與形之間有效關聯(lián)、深刻理解.

跟蹤練習

1. 如圖7所示，在△ABC中，D是BC邊上的一點，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9，求BC的長.

【分析】根據(jù)已知條件無法直接求出BC的長. 因此可嘗試利用勾股定理的逆定理先找出圖形中的直角三角形，然后再考慮利用勾股定理求出線段的長.

解：因為AD2+BD2=122+92=225，

又因為AB2=152=225，

所以AB2=AD2+BD2.

根據(jù)勾股定理的逆定理，可知△ABD是直角三角形. 故△ADC也是直角三角形.

在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理，得

CD2=AC2-AD2=132-122=25，

所以CD=5. 故BC=BD+CD=14.

2. 有一圓柱形油罐，如圖8所示，要從A點環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點正上方的B點，問梯子最短需要多少米？（已知：油罐底面的周長是12 m，高AB是5 m）

【分析】 解此題的關鍵是把側面展開，利用兩點的連線中線段最短和勾股定理作答.

解：假設將圓柱體的側面沿AB剪開鋪平，則AA′B′B為長方形，AB=A′B′=5 m，AA′

=BB′=12 m，∠BAA′=∠A′=∠A′B′B=∠B=90°，因此沿AB′建梯子，最省材料，梯子最短.

在Rt △AA′B′中，AB′=■

=■=13 （m）.

答：梯子最短需13 m.