靈活運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題

勾股定理作為一個古老并且應(yīng)用廣泛的定理，以其簡單優(yōu)美的形式、深邃豐富的內(nèi)容，反映了直角三角形中三條邊的關(guān)系，體現(xiàn)了蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)中的和諧關(guān)系，一直被數(shù)學(xué)界所重視. 因而，它成為了數(shù)學(xué)界最重要的定理之一.

在八年級的《勾股定理》這一章的學(xué)習(xí)中，我們需要熟練掌握并且靈活運(yùn)用這一定理解決實(shí)際問題，這就需要我們具備良好的數(shù)學(xué)意識，掌握一定的數(shù)學(xué)思想以達(dá)到事半功倍的效果. 下面舉例說明.

一、 運(yùn)用方程思想結(jié)合勾股定理解題

通過設(shè)立未知數(shù)，建立方程來解決問題，在解題中應(yīng)用也很廣泛. 如題：

在矩形ABCD中，我們將矩形沿直線BD折疊，使BC邊交AD于E，已知AB=4，BC=8，求S△BED.

【分析】顯然，欲求△BED的面積，我們只需求出線段DE的長，由于題目中給出的條件是折疊，那么我們知道：∠1=∠2，又AD∥BC，得∠1=∠3，所以BE=DE.

設(shè)DE=x，則BE=x，AE=8-x，

在直角△ABE中，AB2+AE2=BE2，即42

+（8-x）2=x2，

解得x=5，

所以DE=5，

從而S△BED=■×4×5=10.

二、 運(yùn)用分類討論思想結(jié)合勾股定理解題

數(shù)學(xué)中的分類討論就是將所研究的對象按可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)不遺漏地分別加以分析，從而獲得問題的完整解答. 如題：

已知關(guān)于x的方程x2-（m+2）x+（2m

-1）=0.

（1） 求證：方程恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2） 若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.

（1） 證明：∵Δ=（m+2）2-4（2m-1）=（m

-2）2+4，

∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m-2）2+4≥4，即Δ≥4，

∴關(guān)于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

（2） 根據(jù)題意，得12-1×（m+2）+（2m

-1）=0，

解得，m=2，則方程的另一根為3.

①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為■，該直角三角形的周長為1+3+■=4+■；

②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2■，則該直角三角形的周長為1+3+2■=4+2■.

三、 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合勾股定理解題

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，通過對圖形的深刻認(rèn)識和數(shù)形轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語言表現(xiàn)在幾何圖形上，從而發(fā)現(xiàn)量的關(guān)系，化抽象為具體，最終問題得解. 如題：

在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖形中，標(biāo)有AB，CD，EF，GH四條線段，其中哪三條線段能組成一個直角三角形？

【分析】該題中既有組合的應(yīng)用，又有勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，又有數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，實(shí)為數(shù)形結(jié)合解題的典范.

由圖可知，AB2=8，CD2=20，EF2=5，GH2

=13，因?yàn)锳B2+EF2=GH2，所以AB，EF，GH這三條線段能組成直角三角形.

勾股定理是每年中考命題的必選內(nèi)容，命題形式千變?nèi)f化. 同學(xué)們需要牢固掌握基本知識點(diǎn)，將勾股定理與其他知識點(diǎn)充分結(jié)合，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，便可達(dá)到解題目的.

南通市第三中學(xué)“勾股定理”測試卷參考答案

1. B 2. D 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. C 9. D 10. B

11. 15，144，40 12. 16 13. 170 14. 7或32 15. 24 cm2 16. 25

17. 設(shè)相鄰兩個結(jié)點(diǎn)的距離為m，則此三角形三邊的長分別為3m、4m、5m，有（3m）2

+（4m）2=（5m）2，所以以3m、4m、5m為邊長的三角形是直角三角形. 18. 3

19. 證明：（1） 連接AC. ∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2. ∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，∵AB>0，BC>0，∴AB=BC.

（2） 過C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四邊形CDEF是矩形. ∴CD=EF. ∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△BAE與△CBF中，∠AEB=∠BFC，∠BAE=∠CBF， AB=BC.∴△BAE≌△CBF. （AAS）∴AE=BF. ∴BE=BF+EF=AE+CD.

20. 解：畫出如圖所示的示意圖， 在△ABC中，因?yàn)锳C=2×30=60，AB=2×40=80，BC=100，所以AC2+AB2=602+802=3 600+6 400=10 000=1002=BC2.

所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，180°-35°-90°=55°.

答：乙船應(yīng)按南偏東55°的角度航行.