波斯王的直角三角形

大約在公元800年前后，年輕的波斯國王哈里發(fā)做了一個(gè)奇怪的夢(mèng)，夢(mèng)見真主將要降災(zāi)難給這個(gè)國家. 只有用金子做成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形的三邊都是整數(shù)，而周長數(shù)等于面積數(shù)，來供祭真主，才能消災(zāi)免禍.

哈里發(fā)召集群臣，三天過去了也沒有人能做出這樣的三角形. 正在哈里發(fā)發(fā)愁時(shí)，他的老師——著名的數(shù)學(xué)家花拉莫子獻(xiàn)上了這樣兩個(gè)直角三角形：

一個(gè)直角三角形三邊長分別為5分米，12分米，13分米，周長是30分米，面積也是30平方分米；另外一個(gè)直角三角形的三邊長分別為6分米，8分米，10分米，周長是24分米，面積也是24平方分米.

花拉莫子面帶智慧，自信地說道：“這樣的直角三角形只有兩個(gè)！”

波斯國王高興了，下令舉行了隆重的祭禮，借機(jī)振奮人心，同時(shí)處置貪官污吏，選用人才，波斯國又興旺起來了.

親愛的同學(xué)，你知道數(shù)學(xué)家花拉莫子是怎樣求出直角三角形三邊長的嗎？

假設(shè)存在符合要求的直角三角形，設(shè)邊長分別為a、b、c，c為斜邊，a、b為正整數(shù).

由題意，得

a2+b2=c2，①

a+b+c=■ab.②

由②，得c=■ab-（a+b），③

把③代入①，得a2+b2=[■ab-（a+b）]2，

化簡，得ab-4a-4b+8=0，

所以a=■=4+■.④

因?yàn)閍為正整數(shù)，故b-4=1，2，4，8，

所以b=5，6，8，12.

把b=5，6，8，12代入④中，得

a=12，8，6，5，所以c=13，10，10，13.

所以符合條件的直角三角形有兩個(gè)，邊長分別為6，8，10和5，12，13.