趙爽“勾股圓方圖”

在稍后一點的《九章算術》一書中（約在公元50至100年間），勾股定理得到了更加規范的一般性表達. 書中的《勾股章》說：“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦.” 《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢以來的數學成就，共收集了246個數學的應用問題和各個問題的解法，列為九章. 中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明.

最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽. 趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法給出了勾股定理的詳細證明. 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識. 在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到的正方形ABDE是由4個相同的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的. 每個直角三角形的面積為■，中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2. 于是便可得如下的式子：

4×（■ab）+（b-a）2=c2

化簡后便可得： a2+b2=c2

他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一，代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范.

劉徽“青朱出入圖”

同一時代的數學家劉徽也是沿用趙爽的方法給出“青朱出入圖”，將青、朱兩塊移出，拼入，便很簡單地證明了勾股定理.

劉徽在證明勾股定理時用的也是以形證數的方法，只是具體的分合移補略有不同. 劉徽的證明原來也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪. 開方除之，即弦也.”后人根據這段文字補了一張圖.