小學階段統計課程理念與教學主張

【摘 要】統計已成為世界各國中小學課程中的重要內容，在美國、澳大利亞和中國最新的數學課程標準中，都體現出注重培養學生的統計思想與提升其統計素養的理念。在這樣的理念引導之下，需要在課堂教學中有不同的教學主張，即需要關注統計的重要概念，通過合適的情境讓學生參與到與數據有關的活動中，并對學生統計思想的發展給出合理的評價。

【關鍵詞】小學數學 統計 課程理念 教學主張

【課題項目】本文系重慶市教育科學“十二五”規劃2012年度小學教材修訂專項課題“中澳小學數學教材難易程度比較研究（2012-JC-008）”、杭州師范大學人文振興計劃項目“國際視野下的中國小學數學課堂教學特色研究”的階段性研究成果。

如今，在世界上的許多國家，統計已經成為中小學數學課程的主流內容，如美國、澳大利亞、中國等。與過去強調技巧、程序與計算的數學教學不同，有研究者認為，統計教育應注重學生對統計關鍵概念的理解及其統計素養與統計思想的培養。[1]

一、國際視野下的統計課程理念

重視培養學生的統計思想與統計素養的理念在世界各國的中小學數學課程標準中都有所體現，比如美國與澳大利亞，兩國都頒布了國家層面的數學課程標準。

1.美國。

全美數學教師聯合會1989年頒布的《學校數學課程的原則與標準》指出統計內容要基于調查，并要求學生動手模擬實驗，強調在小學甚至幼兒園階段就要在課堂中使用真實的數據，關注低年級學生處理數據以及根據數據進行預測的能力。[2]之后，在2000年頒布的《學校數學課程的原則與標準》中沿著上述思路，制定了如下的“統計分析與概率”標準：（1）準確表達能用數據表示的問題，收集、組織、展示相關數據并加以解答；（2）選擇并運用適當的統計方法來分析數據；（3）發展并評價基于數據的推理與預測；（4）理解并運用概率的基礎概念。[3]

2012年，美國發布了首部官方性質的課程標準《美國統一州核心課程標準》。在小學階段，“測量與可能性”（一至五年級）以及“統計與概率”（六年級）是課程的核心內容。在一年級“測量與可能性”中有“表征與理解數據”的要求，具體需要“組織、表征并理解最多包含三個類別的數據，提出并回答有關數據點總數的問題……”在六年級“統計與概率”部分有兩條要求：（1）發展對統計變差的理解，認識到統計問題需要包含對與問題相關的數據的預測；（2）總結并描述分布，在數軸上展示數值數據圖。[4]

2.澳大利亞。

2012年，澳大利亞課程、評價與報告委員會制定并發布了《澳大利亞國家課程：數學》，指出“統計與概率”是其三個內容領域之一，并指出：統計與概率是并行發展的。學生認識分析數據并得出結論，他們表征、概括、理解數據并進行有目的的調查，包括收集、理解數據……他們發展不斷熟練的技能從而批判性地評價統計信息，建立對數據的直覺。[5]事實上，類似的理念在澳大利亞之前各州的課程中已有所體現。

對每一年級的具體要求可分為“可能性”與“數據表征與理解”兩部分，其中，一年級為：可能性——識別包含可能性的熟悉事件的結果，并用日常用語進行描述，比如“一定會發生”“不會發生”或“可能會發生”；數據表征與理解——選擇簡單的問題并收集相應的答案，利用物體或圖片表征數據，描述展示結果。六年級為：可能性——用分數、小數和百分數來描述概率，利用適當的數字技術做少量與大量的可能性試驗；數據表征與理解——理解并比較一系列的數據，理解在數字媒體及其他媒介中展示的二級數據。[5]

綜上所述，可以看出：在學校統計課程中，美國和澳大利亞都立足于幫助學生掌握并理解與統計相關的一些重要概念如樣本與取樣、數據的收集與理解可能性、變差等，并能將這些重要概念與日常生活相聯系，為他們以后進入社會更好地識別處理各種信息提供支持，并且都強調了利用信息技術與可能性試驗的重要性。也就是說，要培養學生的統計思想并提升其統計素養，而非僅專注于數學公式的學習與概率的計算。

二、我國課程標準中對統計內容的要求

我國中小學統計課程的理念和內容與國際發展趨勢是一致的。如史寧中等人指出的：“統計教育價值的核心在于逐步養成尊重事實、通過數據來分析問題的習慣，培養理解和把握隨機現象的能力。中小學統計課程設計、教學設計的主線應該是，體現從收集數據到統計推斷的全過程，建立統計直觀?！盵6]從2001年發布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》開始，“統計與概率”成為我國義務教育階段的四個學習領域之一，強調要培養學生的“統計觀念”，并在每個學段都作出了說明。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在實驗稿課標的基礎上指出，要讓學生“經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程……體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象”。在總體目標的知識技能部分有讓學生“經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程，掌握統計與概率的基礎知識和基本技能”，在數學思考部分提到讓學生“體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象”。并將實驗稿課標中的“統計觀念”改為“數據分析觀念”，且將其作為十個核心概念之一?！傲x務教育階段統計教學關鍵是發展他們的數據分析觀念，使他們想到用數據，愿意用數據，能從數據中提取一些信息”。[7]數據分析觀念是學生在有關數據的活動過程中建立起來的對數據的某種“領悟”、由數據去作出推測的意識，以及對于其獨特的思維方法和應用價值的體會和認識，應包含三個要求：一是過程性要求，讓學生經歷調查研究、收集、處理數據的過程，通過數據分析作出判斷，并體會數據中蘊涵著信息；二是方法性要求，了解對于同樣的數據可以有多種分析方法，需要根據問題背景選擇合適的數據分析方法；三是體驗性要求，通過數據分析體驗隨機性。在小學階段應尤其強調培養學生的數據分析觀念并使其加強體會數據的隨機性。

三、新課程理念下的統計教學主張

目前世界上包括中國在內的主要國家的中小學統計課程都強調統計思想的培養與統計素養的提升。課程的這種理念必然對課堂教學提出相應的要求并帶來一些變化。在統計教學中，可能需要運用一些來自教科書之外的非常規的問題。比如這樣一個問題（以下稱“醫院問題”）：

新生兒是女嬰或男嬰的可能性各占一半。根據記錄，醫院A中平均每天有50個嬰兒出生，醫院B中平均每天有10個嬰兒出生。你認為這兩個醫院中，哪個醫院更有可能在某一天出生的女嬰達到或超過全部新生兒的80%？

a.醫院A（平均每天出生50個嬰兒）。

b.醫院B（平均每天出生10個嬰兒）。

c.兩個醫院發生這一事件的可能性相等。

d.沒有依據可以預測哪個醫院更有可能發生這一事件。

請簡單解釋為什么你這樣認為。

很多教師可能對這樣的題目感到陌生，不知在課堂中采用何種教學方式。根據統計課程的理念，我們應當鼓勵教師在統計教學中有如下主張：

首先，教學目的需要關注發展核心統計概念，而非技巧與程序的學習。在統計課程中，有一些關鍵的概念需要所有的學生都能有深入的理解，比如數據、隨機、變差、平均、取樣、樣本、總體等，在小學階段的統計教學中就應當致力于促進學生對這些概念的理解。在實驗稿課標中，明確指出“應避免單純的統計量的計算”，要求淡化技巧與程序的學習。而在修訂版課標中強化了“感受簡單的隨機現象”，要求利用骰子、硬幣以及其他產生隨機數的工具增加實際的體驗。這種體驗是無法通過計算獲得的，其目的也是為了加強學生對上述核心統計概念的理解。比如在醫院問題中，需要明確其中包含的關鍵統計觀念至少有二：一是理論概率與現實發生的頻率是有差別的，雖然理論上每個新生兒是男嬰或是女嬰的可能性都是一半，但某一天的新生兒中并不總會是男女各一半；二是樣本容量大小與偏離理論概率的變差的關系，即樣本容量越大，偏離理論概率的變差越小。因此教學的目的需要指向這兩個觀念的理解，而非某些統計量的計算。

其次，在課堂上通過活動創設合理的模擬情境，盡量使用真實的數據促進學生的理解。為了促進學生對關鍵統計概念的理解，需要創設合理的情境，讓學生在真實的調查或體驗中加深理解。但是有些現實情境往往不容易在課堂上實現，比如，在課堂上不太可能帶學生到醫院中實地調查出生的男嬰跟女嬰的比例。但是不能因為真實的情境難以創設，教師就在課堂上放棄讓學生體驗的機會，而在教學中采用簡單的告知或者單純的理論計算的方式。這就需要教師找到學生更為熟悉的情境進行替換，前提是兩個情境背后蘊含著相同的統計原理。比如就醫院問題而言，生男嬰或女嬰的可能性都是一半，而扔硬幣得到正面與反面也是隨機的，可能性也都是一半。這時就可以讓學生自己動手扔硬幣，正面記為男嬰，反面記為女嬰（反之亦可）。通過得到正面或反面來體驗出生男嬰或女嬰的可能性與隨機性，并利用在課堂上得到的真實數據，讓學生體會扔10次硬幣得到8次正面要比扔50次硬幣得到40次正面更容易發生。經過這樣的模擬活動之后，再讓學生回到醫院問題，就更容易理解相對醫院A（平均每天有50個新生兒），醫院B（平均每天有10個新生兒）更有可能在某天出生的女嬰達到或超過80%。

第三，運用恰當的信息技術幫助學生驗證猜想，通過探索并分析數據來發展學生的統計思想。在課堂教學中現代技術的運用是提升學生統計素養的重要手段，不僅僅將現代技術作為計算工具，更重要的是用來分析數據，還可以更便捷地進行大量的模擬試驗。因為很多時候，課堂上并不允許學生充分進行足夠多次數的真實試驗。在讓學生體會了次數較少的試驗之后，可以利用信息技術來大量擴展試驗的次數。比如針對這一問題，可以用計算機模擬成千上萬次扔硬幣的結果，來探索得到正面與反面的次數，以幫助學生發現正反面比例的發展趨勢與最終模式。也可以利用計算機模擬現實情境，展示出不同數量（10、50、100甚至更多）的新生兒中的女嬰的比例，進行多次重復的試驗并讓學生記錄不同的結果，通過觀察讓學生理解當新生兒數量較少時，女嬰比例更容易出現一些極端值（接近1或者0），而當數量較多時，比例更接近理論上的概率50%。通過這樣的模擬試驗，學生更容易理解樣本容量與偏離理論概率變差之間的關系。

第四，鼓勵課堂討論，通過多種評價方式評估學生的統計思想的發展。在統計之中，并沒有絕對的正誤，只有適合某種情境的更好的統計方式，這也是與傳統的數學課堂教學的不同之處。因此，需要在課堂上讓學生充分展開討論，說明選擇某種統計方式的原因以及對結果的預測。在上面這一問題中，讓學生簡單解釋為什么這樣認為非常重要。因為對于學生來說，更重要的是要讓他們說出選擇某個答案的原因并對其進行合理的評價，以此可以看出其對統計概念的理解以及統計思想的發展程度。有不少學生可能會在一開始選擇答案c，認為兩個醫院發生這一事件的可能性是一樣的，因為在理論上每一個新生兒是女嬰的可能性都是一半，不論在哪個醫院中都是一樣的。只有讓學生體驗了相應的活動之后，他們才能加深對樣本容量與變差之間的關系的理解，從而認識到b是更合理的答案。在這一過程中，教師不僅需要關注學生能否選擇正確的答案，更需要認識到學生對統計中關鍵概念的理解的發展才是最重要的。

四、小結

簡言之，統計的核心價值在于數據的收集、處理與分析，以及在數據與隨機性的基礎上作出判斷與預測。相比知識的掌握，更需要一種思想、素養以及能力的發展。這正是學生在現實以及未來的數字化世界與信息化社會中學習與生活所必需的。然而，在課程的實際實施過程中，由于一些教師并不能很好地理解統計的關鍵概念及其教學的核心價值所在，并不清楚學生在統計學習上的要求，在教學中出現了偏差，導致了課程實施上的諸多問題。因此，數學教師要更好地理解統計的關鍵概念并對課程理念作準確深入的解讀，最終在課堂上選擇合適的方式進行教學。

【參考文獻】

[1]Garfield，J Ben-Zvi，D.Developing Students’Statistical Reasoning[M].Milton Keynes，England.Springer，2008.

[2]National Council of Teachers of Mathematics（NCTM）.Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics[S].Reston，VA：National Council of Teachers of Mathematics，1989.

[3]National Council of Teachers of Mathematics（NCTM）.Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics[S].Reston，VA：National Council of Teachers of Mathematics，2000.

[4]National Governors Association and the Council of Chief State School Officers.Common Core State Standard for Mathematics[EB/OL].http：//www.corestandards.org/Math.

[5]Australian Curriculum，Assessment and Reporting Authority（ACARA）.Australian Curriculum ： Mathematics[EB/OL].http：//www.australiancurriculum.edu.au/Mathematics/Curriculum/F-10.

[6]史寧中，孔凡哲，秦德生等.中小學統計及其課程教學設計[J].課程·教材·教法，2005，25（6）：45-50.

[7]史寧中，張丹，趙迪.“數據分析觀念”的內涵及教學建議[J].課程·教材·教法，2008，28（6）：42-46.

（作者系溫州大學數學與信息科學學院講師、南京師范大學教育科學學院在站博士后；溫州大學教師教育學院講師、西南大學在站博士后）