遇見“未知”的數學

【摘 要】數學教學不能只關注教材所呈現出來的顯性知識，還要正確把握其背后的隱性知識。隱性知識因高度個人化而難以形式化，因此不易傳授給他人。但是，教師仍可以結合實際教學，引領學生經歷“融化—感應—碰撞—挖掘”的過程，使學生逐漸“走近”隱性知識，“遇見”隱性知識，“觸碰”隱性知識，與隱性知識“深度對話”。

【關鍵詞】小學數學 隱性知識 顯性知識 深度對話

數學教育家張奠宙先生曾深刻地指出：“教什么永遠比怎么教更重要。”那么，數學要教什么？數學是什么？2+3=5是數學嗎？當然是數學，但數學僅止于此嗎？顯然不是。隨著研究的深入，越來越多的人意識到數學知識應當包括顯性知識（能明確表達和傳授的知識）和隱性知識（難以言述的知識）。美國著名心理學家麥克利蘭于1973年提出了一個著名的“素質冰山模型”，數學知識也可以看作這樣的“冰山模型”。顯性知識是“冰山水面以上的部分”，但它只是冰山一角，在整個數學學習過程中起決定作用的是“冰山水面以下的部分”——隱性知識。（見圖1）顯性知識的接收、理解、記憶、整理、深化等的效果要依靠隱性知識的運作。因此，我們教數學并不只是教教材所呈現出來的顯性知識，還要正確把握其背后更深層次的隱性知識。

一、數學隱性知識的構成

隱性知識涉及的方面很多。對于數學學科而言，隱性知識應當主要包含數學文化、數學思維、數學態度三個方面。

1.數學是一種文化，來自智慧，注重延展。

綜觀數學發展的歷史，充滿著人類對自然界的敬畏、探知、征服。數學是深邃而美麗的，數學與文學、藝術、哲學都有著密不可分的聯系。數學詩、黃金分割比例、曲線與直線的變換……看似簡單的數學知識的背后隱藏著巨大的人類文明。因此，數學教師應該通過多種形式展現數學之美，讓孩子在廣闊的數學文化世界中游弋。

2.數學是一種思維，來自邏輯，注重辨證。

數學教會我們如何思考，幫助我們確定思維的方向，進而從不同角度來解決問題。看到學生在學習乘法之前用加法、畫圖等方法解決問題的時候，我們會倍感欣慰。如果學生只會在教師的教授下寫出標準答案，這樣的學生只能算是“聽話的學生”；如果學生會通過自己的思考，運用所學過的知識找到解決問題的途徑，這樣的學生就是“好學生”。

3.數學是一種態度，來自外促，注重內化。

數學能讓我們習得一種良好的學習態度。學習態度是后天習得的，它隨著社會環境的變化和個人經驗的獲得而不斷變化。教師要從點滴做起，為學生營造踏實嚴謹的學習氛圍，督促學生養成良好的數學學習習慣，并逐步內化為學生的數學素養。

二、遇見“未知”的數學

隱性知識因其“隱”而難以言傳。但是，我們仍可以結合實際教學，引領學生經歷“融化—感應—碰撞—挖掘”的過程，使學生逐漸“走近”隱性知識，“遇見”隱性知識，“觸碰”隱性知識，與隱性知識“深度對話”。（見圖2）

1.融化：“道是無晴卻有晴”，創設情意相融的教學情境。

要“融化”隱性知識外的冰層，必須借助于“情意相融”的教學情境，即不為情境而情境（無情），而是緊扣隱性知識的相關要素來創設情境（有情）。具體來說，應當注意以下幾點：

（1）簡約。情境創設并不是越復雜、越華麗就越好，有時，簡約反而更能觸及數學的本質。著名數學特級教師華應龍在執教《中括號》一課時，并沒有像很多教師那樣去“創設一個‘現實’問題情境”，而是從常見的數學游戲入手：添上適當的數學符號使等式成立。但是問題越來越難，越來越有挑戰性，而這個“挑戰性”是有目的的：改變運算的順序。學生在游戲中被吸引了，逐步感受到約束運算順序的必要性，創造了“中括號”，掌握了含有中括號的運算順序。

（2）深度。要觸及隱性知識，我們在創設情境時就不能只浮于問題表面，而應當更深層次地思考數學問題。例如，在進行“解決問題的策略”的教學時，應當深入地分析每一種解題策略的特點：列表策略適用于信息復雜、信息之間關系模糊的問題；畫圖策略適用于較抽象而又可以畫圖來思考的問題；轉化策略適用于運用已有經驗探索新知的問題……在教學中，為了突出某一策略的特性，教師應有針對性地設置問題情境，有的放矢，才能觸及策略教學的本質及其蘊含的隱性知識。

（3）延展。有效的數學情境能夠讓學生“觸景生思”，誘發學生數學思維的積極性，引起他們更多的數學聯想，逐步向隱性知識靠近。例如，在教學《長方形、正方形的周長》一課時，教師創設了這樣一個生活中的問題情境：一群調皮的小雞在一面靠墻的草地上覓食，但它們總是走散，你有什么辦法不讓小雞走散嗎？請你設計方案。假如給你籬笆，圍一個長10米、寬5米的長方形小雞活動場地，你能設計幾種方案呢？這個問題沒有一定的解題模式，結果隨著策略和條件的變化而變化，激發了學生內在的潛力。

2.感應：“形散而神不散”，開展張弛有度的實踐活動。

有效的實踐活動能夠幫助學生初步“感應”隱性知識。但是，不少教師在開展實踐活動時，往往會陷入一種散亂、無法控制的局面。如何讓活動張弛有度、“形散而神不散”呢？

（1）明確“做”的目的，使學生“樂做”。小學生的年齡特點決定了他們在進行操作活動時，往往會陷入無序的狀態。因此，教師在學生進行操作活動前就應先明確操作的目的，在操作過程中也應及時引領偏題的學生回到研究主題上來。目的明確的操作活動能使學生對于操作活動本身的關注更為清晰準確，從而“樂做”，這更有助于學生感應活動中的隱性知識。如《認識分數》教學中，當學生已經初步認識了1/2后，教師提出操作要求：拿出一張長方形紙，折一折，找出它的1/2，并把它的1/2涂上顏色。簡單的幾句話說出了操作目的：一是通過操作使學生加深對分數1/2的直觀理解；二是抽象感知圖形（物體）平均分成兩份的方式不同，其中的一份都用1/2表示。

（2）教給學生“做”的方法，使其“會做”。經過精心設計、合乎邏輯的操作方法不僅能使學生獲得知識，而且有利于提高學生的邏輯思維能力，增強其對隱性知識的感應能力。教學時，要在方法上給予學生“做”的指導，讓每個學生都能熟悉操作的一般方法和策略，使學生“會做”。例如，在教學《可能性》一課組織學生進行摸球活動前，教師有必要對如何摸球、如何記錄、如何分工等作適當的定向指導。否則學生在操作過程中要么束手無策，要么操作不規范，影響進一步的研究，使操作活動徹底失去了意義。

3.碰撞：“四兩撥千斤”，建立從容智慧的理答交流。

數學學習是一個動態的過程，教師要具有“四兩撥千斤”的從容和智慧，善于把握時機，通過師生、生生間的理答交流，不斷擴大課堂的張力，讓思維碰撞出的智慧火花彰顯隱性知識的魅力。

（1）傾聽。傾聽是教師對待學生的一種態度。教師和學生在傾聽和訴說中相互交流，傾聽的過程就是對學生的尊重與欣賞。一個真正的傾聽者，不光是聽其言，還要觀其行、審其思，要始終欣賞每一位學生的獨特性，去了解學生的各種想法，有時還要通過巧妙的引導幫助學生把“口欲言而不能”的內容表達出來。如此，學生才能在融洽的學習氛圍中積極主動地去碰撞隱性知識。

（2）接納。接納是教師對待學生的一種氣度。學生在學習過程中會產生各種想法，其中不乏一些錯誤的觀點。從學生的角度看，這些觀點都是他們依據已有的知識經驗主動建構的，如果教師只是一味地否定批評，就會直接扼殺學生探究知識的欲望，將學生關在隱性知識的大門外。因此，教師必須以開放的心態接納不同的觀點，包括錯誤的觀點，要善于挖掘隱藏在錯誤之中的“真金”，讓學生在不斷的嘗試摸索中去碰撞隱性知識。

（3）分享。分享是一種主動的、平等的交流。學生之間的交流是一場思維的盛宴。在這里，教師只是參與者、引導者、聆聽者與欣賞者。打破了師講生聽“一言堂”式的課堂模式，學生能夠從各種束縛、定勢中解放出來，在寬松愉悅的分享交流中碰撞隱性知識。

4.挖掘：“向思維更深處漫溯”，引導扎實有效的深刻反思。

反思能使思維向隱性知識的更深處漫溯。但是，大多數學生不會反思、不善反思。如何提高學生的反思能力？教師除了給學生提供反思的時間、空間外，還可以從以下三個方面入手：

（1）引導學生有序反思。小學生的思維是相對無序的，在反思時往往不知從何處下手。因此，教師必須給予適當的指導，通過一系列有序的問題來引導學生反思。例如，在推導出圓柱體積的計算公式后，教師可以引導學生反思：剛才我們運用了什么方法推導出圓柱體積的計算公式的？是怎樣轉化的呢？轉化后的長方體和圓柱之間有什么關系？……通過層層推進的追問，使反思更有條理、更有效。

（2）指導學生有理有據地反思。小學生的思維有很大的跳躍性，常常會冒出些“無厘頭”的想法，但是反思不是憑空想象，是有理有據的回顧和思考。因此，教師應指導學生有理有據地思考問題，凡事都問個“為什么”。例如，在遇到算法多樣化時，教師應引導學生反思：為什么喜歡這種方法？為什么會放棄原來的方法而認同新的方法？……引導學生將反思建立在理性思考的基礎上。

（3）注重培養學生的語言表述能力。語言是思維的外殼，反思的過程與結果必須通過語言表達出來。小學生的語言表達能力較弱，往往“心口不一”。因此，在培養學生反思能力的同時，不能忽視學生數學語言表達能力的培養，語言的磨煉將能使反思更嚴謹、更靈活。

我們珍惜每一次的相遇，數學學習亦是如此。過去，我們引領學生遇見的更多的是顯性知識，而眾多的隱性知識還等著我們去探尋、遇見并與之深度對話！

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省無錫市崇安區廣益中心小學）