數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透“數(shù)形結(jié)合”思想

【摘 要】在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征，或使“數(shù)”的問題借助于“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯栴}借助于“數(shù)”去思考，這種解決問題的思想稱為數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法。把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題的目的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 由數(shù)到形 由形到數(shù)

著名數(shù)學(xué)家蘇步青說過：“看書要看到底，書要看透，要看到書背后的東西?！边@背后的東西，在數(shù)學(xué)教材中就是數(shù)學(xué)思想方法。教師在教學(xué)中不僅要抓實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)這根教學(xué)明線，更應(yīng)抓住數(shù)學(xué)思想方法這根暗線，為學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成打好基礎(chǔ)。

“數(shù)”準(zhǔn)確而抽象，“形”形象而直觀，各有特點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合有利于兒童更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，訓(xùn)練思維，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、由數(shù)到形，有效教學(xué)

由數(shù)到形，突出圖的形象思維功能，將抽象的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)約化，給學(xué)生以直觀感，讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，親歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，讓學(xué)生進(jìn)行充分的感知，在形成表象的基礎(chǔ)上進(jìn)行想象、聯(lián)想，達(dá)到最終理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、解決數(shù)學(xué)問題、形成數(shù)學(xué)思想的目的。由數(shù)到形可以使數(shù)學(xué)教學(xué)化繁為簡(jiǎn)，化隱為顯，化難為易。

1.以形算數(shù)，深入理解算理。

抽象的計(jì)算和學(xué)生的形象思維是一對(duì)矛盾，解決這一對(duì)矛盾，需要用數(shù)形結(jié)合來調(diào)和。在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁，鋪設(shè)一條道路，讓學(xué)生在充分體驗(yàn)中逐步完成動(dòng)作思維—形象思維—抽象思維的發(fā)展過程。

以一年級(jí)下學(xué)期的《兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加》為例，例題通過情境圖得到算式：34+16，我首先請(qǐng)學(xué)生用小棒擺一擺，看看結(jié)果是多少。學(xué)生操作后反饋（如下圖）：

操作的目的是為了更好地理解算理，因此在反饋時(shí)，老師應(yīng)結(jié)合操作，突出計(jì)算的重難點(diǎn)，有效組織，精心設(shè)問。結(jié)合小棒圖，老師可以質(zhì)疑以下幾個(gè)問題：

（1）擺好3捆帶4根后，再擺1捆帶6根時(shí)需要注意什么？（整捆和整捆對(duì)齊，單根和單根對(duì)齊，這與豎式中的數(shù)位對(duì)齊對(duì)應(yīng)）

（2）原來有幾捆小棒？（4捆）為什么現(xiàn)在是5捆？多出的1捆是哪兒來的？（與計(jì)算過程對(duì)應(yīng)）

（3）單根的小棒還有嗎？（與個(gè)位上寫0占位對(duì)應(yīng)）

有了這3個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)疑，就使得操作具有明確的目的性，與后面的豎式計(jì)算遙相呼應(yīng)。

在教學(xué)34+16的豎式時(shí)，老師仍然應(yīng)結(jié)合小棒圖來理解算法。

質(zhì)疑：（1）個(gè)位上4+6滿十了，該怎么辦？個(gè)位上應(yīng)寫幾？（結(jié)合圖，明確一個(gè)也沒有寫0占位）

（2）十位上應(yīng)該得幾？十位上原來是3+1=4，再加的1是從哪兒來的？（看圖說明）

從圖到算式，再從算式到圖，針對(duì)重難點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)，學(xué)生對(duì)算理的掌握就會(huì)水到渠成。

2.以形構(gòu)數(shù)，形象建立概念。

數(shù)學(xué)概念具有較強(qiáng)的邏輯性和抽象性，運(yùn)用圖形提供一定的數(shù)學(xué)問題情景，通過對(duì)圖形中的情景分析，將枯燥的數(shù)學(xué)概念形象化、情境化，再抽象出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，可以使學(xué)生對(duì)概念的理解更深入、更透徹。

如：三年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》，教材中安排讓學(xué)生先初步認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一。在教學(xué)中我緊密聯(lián)系例題，利用猴子分桃圖，讓學(xué)生在分一分、比一比的過程中，逐步形成幾分之一的概念。

環(huán)節(jié)一：

1.出示：

學(xué)生分一分，得到的一份是這盤桃的 。

2.還是這盤桃，分一分，得到的一份是這盤桃的 。

3.出示：

對(duì)比：同樣是4個(gè)桃，為什么第一次的一份是它的 ，而第二次的一份是它的 ？

環(huán)節(jié)二：

1.分一分，得到的一份是這盤桃的 。

2.出示：

對(duì)比：6個(gè)桃和4個(gè)桃，個(gè)數(shù)不同，為什么每一份都是它的 ？

環(huán)節(jié)三：

8個(gè)桃，如果你是猴王，你準(zhǔn)備平均分給幾個(gè)小猴，每個(gè)小猴分得這盤桃的幾分之一？

有了直觀的圖片作為理解的支撐，學(xué)生能在操作和觀察中，有效地認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一。

3.以形思數(shù)，輕松拓展思路。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，根據(jù)問題的具體情形，把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化。

六年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略》中有這樣一道題目：在2個(gè)同樣的大盒和5個(gè)同樣的小盒里裝滿球，正好是100個(gè)。每個(gè)大盒比小盒多裝8個(gè)，每個(gè)大盒和小盒各裝多少個(gè)？在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生知道要把大盒換成小盒，或者把小盒換成大盒，因?yàn)樵谔鎿Q過程中，球的總數(shù)發(fā)生了變化，是比100多還是比100少呢？一些學(xué)生犯了愁。教材在揭示全部替換成小盒的策略時(shí)，用了下面的圖：

我結(jié)合教學(xué)難點(diǎn)，把書上的圖作了進(jìn)一步的改良：

學(xué)生看圖后不難發(fā)現(xiàn)，替換過程中盒子總數(shù)沒有變化，但100個(gè)球?qū)?yīng)的是7個(gè)小盒加16個(gè)球，那么7個(gè)小盒里球的總數(shù)就是100-8×2。

有了這樣的示意圖，學(xué)生在自主完成全部替換成大盒時(shí)，也學(xué)會(huì)用這樣的畫圖方法，找準(zhǔn)替換后的總數(shù)，輕松地解決問題。

二、由數(shù)到形，發(fā)展思維

由數(shù)到形，由抽象到具體，是訓(xùn)練思維、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有效途徑。

1.以數(shù)想形，融會(huì)貫通知識(shí)點(diǎn)。

一些概念和法則，在通過直觀認(rèn)識(shí)建立起來以后，如果再逆向運(yùn)用于直觀圖形中解決問題，可以幫助我們檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深入理解和掌握。

如六年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)比》這個(gè)單元，有這樣一道題：畫一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)是16厘米，長(zhǎng)和寬的比是5∶3。學(xué)生在畫圖時(shí)往往忽略長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)的關(guān)系，把長(zhǎng)畫成10厘米，寬畫成6厘米。正是因?yàn)閿?shù)和形沒有做到一一對(duì)應(yīng)，才導(dǎo)致了錯(cuò)誤的出現(xiàn)。我們?cè)诮虒W(xué)中可以利用學(xué)生畫出的錯(cuò)誤圖形，組織學(xué)生驗(yàn)證對(duì)錯(cuò)，尋找錯(cuò)因，讓學(xué)生明白這里（5+3）份，對(duì)應(yīng)的不是周長(zhǎng)，而是周長(zhǎng)的一半。學(xué)生在這一出錯(cuò)、糾錯(cuò)的過程中對(duì)數(shù)與圖形有了感性認(rèn)識(shí)，因而也掌握了解決這類問題的基本策略。

2.以數(shù)研形，學(xué)會(huì)研究知識(shí)點(diǎn)。

在教學(xué)中有這樣一種現(xiàn)象，有些圖形的計(jì)算公式課前學(xué)生就知道。為了順應(yīng)教學(xué)，老師在課上不得不“壓”著學(xué)生，漠視學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，把學(xué)生當(dāng)成白紙，課堂上熱熱鬧鬧，看似以生為本，實(shí)質(zhì)是以師、以書為本。其實(shí)在日常教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，雖然大多數(shù)學(xué)生會(huì)公式，但是對(duì)于公式的由來和算理并不了解，教學(xué)中應(yīng)抓住學(xué)生這個(gè)學(xué)習(xí)的盲區(qū)，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)，以此提高課堂教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

有位教師在執(zhí)教《長(zhǎng)方形和正方形的面積》時(shí)，就較好地運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，由公式直接呈現(xiàn)開始，步步深入研究公式的由來，剝繭抽絲，課堂教學(xué)生動(dòng)有趣。

課前老師發(fā)了一份研究單，讓學(xué)生課前根據(jù)要求有目的地研究，內(nèi)容如下：

課上，老師拋出課題后，直接問：“有誰知道長(zhǎng)方形的面積怎樣計(jì)算？正方形呢？”學(xué)生個(gè)個(gè)躍躍欲試地要發(fā)言。老師接著質(zhì)疑：“為什么用‘長(zhǎng)×寬’就能得到長(zhǎng)方形的面積，用‘邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)’就能得到正方形的面積呢？答案就在你們的研究單里！”課堂上師生圍繞研究單開展小組匯報(bào)、操作，再質(zhì)疑，交流，逐步得到計(jì)算公式的由來。

從課堂反饋看，課前的初步研究使得學(xué)生研究積極性高漲。在這一溯本求源的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅知道了公式的由來，更深入理解了公式的含義，同時(shí)也培養(yǎng)了他們的研究意識(shí)，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)能力。

3.以數(shù)造形，有效整合知識(shí)點(diǎn)。

在教學(xué)完規(guī)律、概念、運(yùn)算方法后，我們要把這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效的梳理和整合，分散著的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生不方便系統(tǒng)理解和掌握，而“以數(shù)造形”可以有效直觀地解決這個(gè)問題。

在五年級(jí)教學(xué)完分?jǐn)?shù)的概念后，可以把三年級(jí)學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)概念和當(dāng)下學(xué)的知識(shí)進(jìn)行有效整合。比如可以出示分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生用畫圖的方式來表示它，有的學(xué)生把單位“1”看作一個(gè)整體來畫，有的學(xué)生把單位“1”看作一個(gè)物體或計(jì)量單位來畫……學(xué)生的表現(xiàn)形式多樣，通過交流討論，可以幫助他們進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的含義，靈活應(yīng)用分?jǐn)?shù)。

數(shù)學(xué)新課程改革呼喚我們每位教師要從根本上改變教學(xué)方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)和能力，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，“數(shù)”和“形”作為數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)的兩種形式，如果能在我們的課堂教學(xué)中巧妙結(jié)合，必然會(huì)使課堂教學(xué)“增值”，切實(shí)提高教學(xué)的有效性。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉娟娟.有效教學(xué)——小學(xué)數(shù)學(xué)中的問題與對(duì)策[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2010.

[2]謝明初.數(shù)學(xué)教育中的建構(gòu)主義：一個(gè)哲學(xué)的審視[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.

（作者單位：南京市力學(xué)小學(xué)）