數學認知結構的解構和建構

【摘 要】揚州市首次統一組織了義務教育學業質量監測，筆者對三年級得分率最低的部分數學試題和學生作答的情況進行了統計分析。在本文中，筆者結合三年級數學試卷得分率最低的四道題目，分析了數學認知結構的變量與特征，并在數學認知結構及其整體框架建構的策略方面，提出了自己的幾點想法。

【關鍵詞】數學認知結構 解構 建構

2011年11月18日，揚州市教育局統一組織了義務教育學業質量監測首次集中抽樣測試（紙筆測試），小學科目為三年級數學、四年級英語和五年級語文。通過對三年級數學質量監測試卷及結果的統計與分析，筆者就其中得分率最低的4道題目作一些剖析，希望引起同行對學生“數學認知結構”的充分關注。

一、解構——數學認知結構的變量與特征

奧蘇貝爾認為，認知結構就是學生頭腦中的知識結構。曹才翰教授曾明確指出，數學認知結構就是學生頭腦里的數學知識按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構。

試題一：現在有50本書，至少再買來（ ）本，就可以正好平均分給8個小朋友。

A.2 B.4 C.6 D.8

這道題是整張試卷得分率最低的，學生的錯因包括：（1）只考慮到最少，沒有兼顧8的倍數；（2）50-2=48（本）正好是8的倍數；（3）只考慮到8的倍數，沒有加上50后是8的倍數；（4）8的乘法口訣記憶有誤；等等。僅僅對學生的錯因進行簡單的統計是不夠的，我們需要結合數學認知結構的三個變量加以分析與研究。

1.可利用性。它涉及學習者原有知識的實質性的內容特征，即在新的學習任務面前，學習者原有的認知結構中是否具有用來同化新知識的適當觀念。這道題學生運用了8的乘法口訣，如果學生在提取口訣時發生錯誤，說明原有數學認知結構的可利用性較差。平時教學引進一個新概念、法則時，應注意它與已有的概念或法則是相容的。

2.可辨別性。它涉及學生個人知識的組織特征，即在新的學習任務之前，他的原有知識與新知識之間的異同是否分辨清晰。學生辨別“至少再買來”存在一定障礙，是在50本的基礎上加一些，還是減一些，沒有清楚地辨別出來。學生原有認知結構中的有關內容是按照一定的結構嚴密地組織起來的，面對新的任務時，要能清楚地辨別出新舊知識之間的聯系和區別，以順利地實現教材知識結構向學生數學認知結構的轉化。

3.可鞏固性。它涉及學生原有知識的穩定性和清晰性，即原有的認知結構越鞏固越有助于促進新的學習。這道題將問題轉化成“50+幾”的模型，并運用8的乘法口訣和估計的策略，發現56是8的倍數，從而正好平均分給8個小朋友。如果學生原有認知結構中的有關認識不穩定，甚至模糊不清，這種認知結構會影響新舊知識之間的可辨別性，進而影響新知識同原有認知結構之間的相互作用。

試題二：下面的算式中，計算正確的是（ ）。

學生的錯因主要有：（1）進位忘記加1，比如選A的同學，個位已滿十，在十位相加時沒有加1；（2）連續進位有錯誤，比如選B或C的學生，個位滿十要向十位進1，十位滿二十要向百位進2；（3）豎式計算有困難；等等。統計結果顯示，有14.06%的學生選擇B。可見，教學時對十位滿二十向百位進2的訓練仍須加強。學生的數學認知結構主要有以下特點：

1.差異性。有些學生習慣于知識經驗的縱向組織，體現在豎式的每一位上加減法時很少出錯，但進位或退位時總有問題，此類學生應重在進位或退位的強化與訓練。有些學生則偏重于橫向的編排，這些學生對于進退位記憶清晰，但多位數連加時不夠準確，教學時應在這方面給予特別的關愛。

2.依賴性。個位相加滿十，影響了學生對百位相加滿二十的思考。另外，個位進的是1，百位進的是2，這些主客體的不同作用，會改變學生對計算的認識。針對兒童數學認知結構的特性，要特別強調個位與十位或百位的進位數不一樣，克服學生思維的依賴。

3.再構性。伴隨著同化和順應，學生的數學認知結構不斷再構。從最簡單的“一位數加法→一位數進位加法→兩位數加法→兩位數進位加法→三位數加法→三位數進位加法→……”及其相應的減法，兒童的數學認知結構呈現出螺旋上升、不斷重構與再構的過程。

4.生長性。學生要構建屬于自己的認知結構，必須要有一個清晰有力的“生長點”。在這個“生長點”上，學生才能自主構建新的認知結構，使新知識在“生長點”上獲得新生。實踐證明，以最基本的概念為核心不斷探索有關知識建立起來的認知結構綱目清楚、主次分明，便于學生深入理解、記憶和再學習。

二、建構——數學認知結構的框架與策略

試題三：

學生解答主要存在以下問題：（1）觀察不仔細，每幅圖中究竟有幾位小朋友，仍有部分學生數錯；（2）審題有困難，圖中干擾信息很多，第一組一共有三位小朋友，“我們組每人要做8朵”與第二組三位小朋友“我們組要做26朵”，信息相互干擾；（3）理解有障礙，“第一組比第二組少做多少朵”，比較量無法正確對應，第一組已知總人數和平均數，第二組知道總朵數，那么3人就是多余的條件，學生在理解上存在障礙。因此，在學生解決問題的過程中，要培養學生的獨立審題、理解和感悟數學語言的能力，幫助學生建構數學認知結構的整體框架。所謂數學認知結構的整體框架，是指在數學教學過程中，教師適時地引導學生把已學過的具有內在聯系的知識統攝起來加以思考，實現由局部到整體、由分析到綜合、由具體到抽象、由感性到理性的飛躍性的認識，從而建構一個整體的知識結構，并進一步內化為學生的認知結構。要建構數學認知結構的整體框架，需要做到：

1.及時修補節點。首先要深入了解學生的原有認知結構，編制診斷性的測驗，再根據測驗結果修補認知結構中缺少或模糊的知識點。上題中，已知第一組做紅花的人數和平均每人做的朵數，可求出什么？可以采用綜合性的思考方式來診斷學生對這類問題的理解，幫助學生修補知識結構中的節點。

2.選取核心知識。教師要合理選擇概括程度較高的關鍵點，將其放在突出的位置，幫助學生樹立認知結構的整體“骨架”，選擇不同的解題方法和思考策略，讓學生根據問題的局部特點發散至整體思考。上題中，學生對“8朵”和“26朵”的理解是關鍵，如果能夠把“8朵”理解成第一組的平均數，把“26朵”理解成第二組的總數，那么，對這個問題的本質也就理解清楚了。

3.整體觀察情景。學生觀察問題情景時，應啟發學生在整體框架內來思考問題，采用分析或綜合法放在整體問題情景中“發現”思路，促進認知結構的同化和不斷分化，最終整體化。觀察上圖，學生往往被圖像本身迷惑，只關注部分信息（小朋友的人數或其中一些數學語言），而沒有從整體上觀察這幅插圖。

4.關注邏輯結構。每一個知識點本身都具有一定的邏輯結構，把握數學認知結構的整體，一般有兩種方法：其一是提煉概括學生原有的認知結構；其二是適當引伸、拓寬原有的認知結構。結合本題我們可以發現，部分學生對這個問題的理解有獨到之處，能夠從已知條件或問題出發，可以讓他們向全班介紹自己的解題方法，同齡人之間的交流更易達到心靈相通的程度，更切合兒童的最近發展區。

試題四：

下面列式正確的是（ ）。

A.28×3=84（元） 84+28=112（元）

B.28×3=84（元）

C.3-1=2 28×2=56（元）

D.1+3=4 28×4=112（元）

這道題學生主要存在以下問題：（1）對問題理解有誤，將問題理解為“求一件上衣和一條褲子的總錢數”，如選A或D；（2）直接計算了上衣的價格，而問題是求“一件上衣比一條褲子貴多少元”，如選B。要幫助兒童建構數學認知結構，主要策略有：

1.發揮已有認知結構的作用。教學要借助學生已有的數學認知結構，進行思維方式的引導，憑借學生的原有認知結構，按照“新知識的成長點——新舊知識連接點——新知識的切入點”的思路，以舊知識為成長點對新知識的學習產生積極的影響。本題借助“和倍關系”引出“差倍關系”，而解決“差倍關系”既可以先求一份數，再求相差數；也可以先求多倍數，再求相差數。通過與“和倍問題”的比較，有效利用學生已有的認知結構。

2.從學生的生活經驗出發。對于這題的教學，要從生活中上衣和褲子的價格理解為切入點，把上衣和褲子的單價之間的倍數關系、差數關系理解清楚，然后出示不同的問題讓學生思考，從而把“和倍問題”“差倍問題”公式及數量關系分析透徹。因此，把學生的已有經驗作為關注點，不創設過于復雜的情境，正是新課標強調的“從生活經驗出發”思想的體現。

3.充分利用新舊認知的矛盾。學生在建構數學認知結構時，教師要恰當地利用學生新舊認知的矛盾，形成認知沖突，激發學生探索的欲望，從而行走在新舊認知之間。對于這題，可以運用不同問題進行對比，“一件上衣比一條褲子貴多少元？”“一件上衣和一條褲子共多少元？”“一件上衣多少元？”“一條褲子比一件上衣便宜多少元？”等，讓學生在不同的問題中追尋舊知與新知的共生點，在新舊認知的不平衡中螺旋上升。教師要充分利用好舊知識的定式干擾，巧妙地設置“陷阱”，引發學生積極主動探究。

4.在反思中構建數學認知結構。反思，是指解決數學問題后重新思考解題過程的行為，是數學思維活動的核心和動力。利用反思過程來構建數學認識結構，培養學生多角度、多層次解決問題的能力，就這個問題來看，可以讓學生在解決問題的基礎上，總結公式，強化“和倍”與“差倍”的對比，使學生在反思中建立新的認知結構，在新的認知結構中反芻舊的認知結構。

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗小學）