基于數學建模視角的教學演繹

【摘 要】智慧是生命成長的目標，數學建模作為一種重要的數學思想方法，對學生數學智慧的生長具有非凡的意義。綜觀時下的數學課堂，存在著忽視從建模視角來組織教學的現象。在本文中，筆者嘗試運用建模思想來指導數學教學的研究，從概念教學、計算教學以及解決問題教學等層面初步構建利于學生形成模型思想、生成數學智慧的課堂教學體系。

【關鍵詞】建模思想 教學演繹 概念 計算 解決問題

《數學課程標準（2011年版）》提出，在數學教學中應當引導學生“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界的基本途徑”。而“就許多小學數學內容而言，本身就是一種數學模型……我們每堂數學課都在建立數學模型”（張奠宙）。這就要求教師能自覺運用建模思想來指導課堂教學，引導學生經歷自主的“意義建模”的過程，從中感悟數學的思想與方法，促進學生數學智慧的生成與積淀。但在當下小學數學教學改革的實踐中，數學建模教學并未引起廣大教師的重視，導致模型思想的滲透沒有取得盡如人意的效果。

數學就其本質而言，就是在不斷抽象、概括、模式化的過程中發展和豐富起來的。數學學習只有深入到“建?！钡囊饬x上，才真正走進了數學學習的“腹地”。基于建模視角展開數學教學，教師們首先要善于對熟悉的內容進行“陌生化”審視，用建模思想來觀照數學的概念、命題、方法等，發現其中的“模型”因子。概念、計算和解決問題構成了數學教學內容的主體部分。下面，筆者結合有關課例就基于數學建模視角的課堂踐行談談自己的探索與思考。

一、數學概念教學：前后溝聯，尋找原型，達成知識建構的系統性

《常見的數量關系》（路程、時間、速度）教學片段：

師：聯系二年級時認識的乘法和除法，想一想：為什么速度×時間=路程，要用乘法？

生：速度表示一份有多少，時間就是有幾份，乘起來表示總共有多少，就得到路程。

師：路程÷時間=速度、路程÷速度=時間為什么用除法呢？

生：因為用除法表示總數除以份數等于每份數，也表示總數除以每份數等于有份數。

課件呈現：□×□=□ □÷□=□ □÷□=□

師：熟悉吧！這“一乘兩除”該怎么填空呢？

生：4乘3等于12，12除以4等于3，12除以3等于4。

師：這三個數據里面，哪個數據相當于速度？

生：是4。

師：4表示每份，那3和12又分別相當于什么呢？

生：3是時間，12是路程。

課件呈現： 墻面圖

師：這面墻有多長，我們可以只看第一排，其中一塊磚的長度就相當于什么？

生：一份，就好比速度。

師：那什么相當于時間呢？

生：這一排有幾塊。

師：這面墻的長度相當于什么？

生：路程。

師：這樣一組數量關系就是我們學過的乘除法的一種情況。還有哪些數量也是“一乘兩除”的關系……

教師通過精妙的設問，巧妙地將速度、時間和路程之間的關系與已學的乘除法知識勾連起來，為“數量關系”找到了更具統攝性的數學原型，即“一乘兩除”，并通過組織細致的類比、抽象等思維活動，讓學生真切地意識到，“數量關系”就是二年級學習的乘除法之間關系的一種具體表現，其實也是一種數學模型。至此，學生順利完成了對于“數量關系”的“意義建?！薄５處煵⑽淳痛肆T手，為了讓學生對此類模型的感受更深刻，教師又繼續呈現生活中的現實素材和已學的習題題材，引導學生理解它們與模型之間的關系，自然而然地拓展了模型的外延，做到了前引后伸，幫助學生成功尋找到了所學知識在認知結構中的嵌入節點，實現了數學知識的塊狀編碼與結構化。

二、計算教學：提出假設，驗證猜想，體現法則生成的探究性

《分數與整數相乘》教學片段：

教師創設“一個分數與整數怎么乘才能算出正確得數”的問題情境，誘發學生對計算方法提出了三種模型假設，并組織學生進行分析與推論，從中甄選出合理的假設，即“分數與整數相乘，整數與分子相乘的積作分子，分母不變”，由此邁出了算法探究的關鍵一步，這其中充滿了探索與創造，能有效提高學生數學建模的能力。提出合理的假設后，讓學生自主選擇方法進行驗證，再組織全班交流、分享驗證的過程和成果，體會驗證方法的多樣化。學生真正經歷了“猜想——驗證”的“類科學研究”過程。由于計算方法不是教師直白式的“告訴”，而是學生自主研究的成果，因此，計算方法的模型也就能牢牢地系在認知的錨樁上。同時，學生獨立思考鉆研的習慣和實事求是的科學態度也得到了培養和積淀。

三、解決問題教學：變式拓展，豐富內涵，感受策略應用的廣泛性

《梯形的面積計算》活動課教學片段：

教師組織學生經過如下圖所示的演示，探究出了問題“原先的一面墻共有磚多少塊？”的簡便列式：（3+8）×6÷2=33（塊）。

師：“3”“8”“6”分別指這面墻的什么？為什么還要除以2呢？

（學生回答后，教師板書：（最上層塊數+最下層塊數）×層數÷2。）

師：這樣列式，像哪個圖形的面積計算方法？

生：梯形。

師：對！堆放的橫截面近似梯形，且每兩層物體個數的差都相等。這里最上層塊數、最下層塊數和層數其實就相當于梯形的——

生：上底、下底和高。

課件出示：一只掛鐘，一點鐘敲一下……十二點鐘敲十二下，從一點到十二點共敲了多少下？

師：求鐘擺敲的下數，看起來好像有點繁瑣呢！

生：我覺得這與墻面用磚塊數問題還差不多，（該生走到黑板前邊畫點演示邊繼續講）敲一下畫一塊磚，敲十二下畫十二塊磚。

師：真不簡單，善于借助圖形來轉化，把鐘擺敲的下數問題一下子就轉換成了墻面磚塊問題。同學們能算出共敲了多少下嗎？

（學生練習，教師巡視指導。）

師：現在看來，墻面用磚塊數的問題換成求鐘擺敲的下數的問題，仍然可以“套用”磚塊數的列式來計算，歸根到底，用磚塊數的問題其實就是解答這類問題的一個模型。

在“磚塊”問題研究的基礎上，結合“鐘面”這個不同情境的變式呈現，使學生強烈感知到“磚塊”問題只是一個“模型”。雖然情境在不斷變化，但問題的實質，也即數量之間的內在關系是不變的。學生在解讀、研究、解決問題的過程中，逐漸形成了關于此類問題的解題方法。引導學生“建模”的過程也不是“一竿到底”的，而是遵循了“拾級而上”的原則，讓學生在“逐級登攀”中運用類比、抽象、概括等思維方法，漸進地對“模型”的本質與外延有了系統認識。值得一提的是，有學生運用“數形結合”的思想，把“鐘擺”問題進行提煉、轉化為“磚塊”問題，展現了“數學建?！钡倪^程，于潛移默化中引導學生對“數學建?！钡氖侄魏头椒ㄒ灿兴w悟?？梢源_切地說，學生以后再遇到類似問題時，一定能從認知倉庫中準確清晰地提取出已經建立的數學模型，有效迅速地解決問題。

用“建?！彼枷胫笇祵W教學，不僅僅是為了獲得數學模型或數學結論，而是要幫助學生從系統化的角度更準確、清晰地認識、描述和把握現實世界，更為重要的是讓學生有效經歷自主“知識建構”的過程，同時養成自覺地“模型化”處理數學問題的思維習慣與數學觀念，真正感受到數學的內在魅力，成長為富于數學智慧的人。這，應該就是數學教學的理想狀態與至高境界吧！

注：本文獲2012年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省海安縣曲塘鎮中心小學）