基本圖形的應(yīng)用和拓展的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、引入基本圖形

1. 認(rèn)識基本圖形

如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD 中，AC=CE，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°，Rt△CAB與Rt△ECD全等嗎？請說明理由.

先提問學(xué)生：判斷三角形全等的方法有幾種？所要判定的兩個三角形全等需要通過那種判定方法？

請學(xué)生解決上述問題并總結(jié)上述問題的特征和結(jié)論，可以讓學(xué)生進(jìn)行討論交流.

備注：向?qū)W生強(qiáng)調(diào)上述題目改編自人教版數(shù)學(xué)教材第八冊（下）P122第15題.

2. 基本圖形的應(yīng)用

問題1：（江蘇南通市中考題）

如圖2，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是（ ）

A. ■cm B. ■cm

C. 2■cm D. 2■cm

請學(xué)生觀察圖形的特點(diǎn)，想一想和前面的基本圖形有沒有聯(lián)系（基本圖形與圓的綜合），然后思考如何利用其中的基本圖形.

二、基本圖形變化引申

變式一：刪掉原題中的條件“AC=CE”.如圖3，在Rt△CAB和Rt△ECD中， 點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且∠ACE= ∠B= ∠D=90°.則原題中結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

請學(xué)生思考所求三角形之一的什么發(fā)生了改變.學(xué)生：邊.教師：兩個三角形還全等嗎？學(xué)生：不，應(yīng)該是相似.

解決問題后總結(jié)相似情況下圖形的特點(diǎn)和結(jié)論.

問題1：如圖4，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，保持AM和MN垂直. 證明Rt△ABM∽Rt△MCN.

請學(xué)生觀察圖形的特點(diǎn)，想一想和前面的圖形有沒有聯(lián)系（圖形與特殊四邊形正方形的綜合），然后思考如何利用其中的基本圖形.

問題2：（廣東中考題）如圖4，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，保持AM和MN垂直. 設(shè)BM=x，CN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，y的值最大，并求出最大值.

請學(xué)生觀察圖形的特點(diǎn)，想一想和前面的圖形有沒有聯(lián)系（圖形與正方形、函數(shù)的綜合），然后思考如何利用其中的基本圖形.

變式二：弱化原題中的“兩邊相等”和“直角”條件.（呼和浩特中考題）如圖5，在等邊△ABC中，P為BC邊上的一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD=60°，BP=1，CD=■，則△ABC的邊長為______.

請學(xué)生思考所求三角形之一的什么發(fā)生了改變.學(xué)生：邊以及角.教師：兩個三角形還相似嗎？學(xué)生：相似，注意題目中所附加的特殊條件（等邊三角形）.

解決問題后總結(jié)特殊三角形相似情況下圖形的特點(diǎn)和結(jié)論.

變式三：弱化原題中的“兩邊相等”、“直角”和“三角形的形狀”.（南京市中考題）如圖6，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=60°，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且∠BEF=120°，設(shè)AE=x，DF=y，求y與x的函數(shù)表達(dá)式.

請學(xué)生思考上面問題中的等邊三角形是否還存在.學(xué)生：不存在.教師：兩個三角形還相似嗎？學(xué)生：相似，注意題目中所附加的特殊角度（60°）.

解決問題后總結(jié)特殊角度相似情況下圖形的特點(diǎn)和結(jié)論.

變式四：推廣到一般情況.（安徽省中考題）如圖7，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME= ∠A = ∠B =α，且DM交AC于F，ME交BC于G.請寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對.

請學(xué)生思考上面問題中的特殊角度是否還存在.學(xué)生：不存在.教師：兩個三角形還相似嗎？學(xué)生：相似，注意題目中所附加的特殊關(guān)系（多個角相等）.

解決問題后總結(jié)多個角相等相似情況下圖形的特點(diǎn)和結(jié)論.

三、基本圖形綜合應(yīng)用

問題1：（陜西省中考題）如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，OA⊥OB，且OB=2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，2）.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P，使得△ABP與 △ABO的面積相等.

問題2：（河源市中考題）如圖9，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC為直徑的圓交x軸于E、D兩點(diǎn)（D點(diǎn)在E點(diǎn)右方）.（1）求點(diǎn)E、D 的坐標(biāo)；（2）求過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （3）求過B、C、D三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

四、反思

1. 區(qū)性設(shè)計(jì)后的思考

本設(shè)計(jì)是在認(rèn)真研讀人教版教材、人教版教學(xué)參考書、歷年中考數(shù)學(xué)真題以及中考數(shù)學(xué)考試說明的基礎(chǔ)上，嘗試從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識理論（MPCK）、加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論的角度完成的.

教學(xué)設(shè)計(jì)模板分為五個部分“學(xué)與教的基本面分析，學(xué)與教的目標(biāo)定位，學(xué)與教的重點(diǎn)與難點(diǎn)確定，學(xué)與教的方式與方法分析，學(xué)與教的過程設(shè)計(jì)”，主要希望體現(xiàn)如下思考：

（1）教師教的目的最終是為了促進(jìn)學(xué)生的學(xué)，一切從學(xué)生出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)到什么數(shù)學(xué)知識，更要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的這些知識在其發(fā)展過程中所起的作用.

（2）教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是教學(xué)目標(biāo)的定位，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是可以觀測的，可以量化的.

（3）教學(xué)過程的設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度整體規(guī)劃，在幫助學(xué)生理解知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程的同時，促進(jìn)學(xué)生掌握知識.

（4） 教學(xué)過程的設(shè)計(jì)還應(yīng)從知識結(jié)構(gòu)的角度清晰體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯關(guān)系，揭示數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的特點(diǎn).

2. 實(shí)施后的反思

教學(xué)設(shè)計(jì)只是課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)，具體實(shí)施時，還有待根據(jù)教學(xué)的具體情境進(jìn)行靈活的處理.另外，針對不同生源的學(xué)生，教師也需要對教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)整.期待各位教師對該教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，并在執(zhí)教后進(jìn)行評估.

責(zé)任編輯 羅 峰