基本圖形的應用和拓展的教學設計

一、引入基本圖形

1. 認識基本圖形

如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD 中，AC=CE，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°，Rt△CAB與Rt△ECD全等嗎？請說明理由.

先提問學生：判斷三角形全等的方法有幾種？所要判定的兩個三角形全等需要通過那種判定方法？

請學生解決上述問題并總結上述問題的特征和結論，可以讓學生進行討論交流.

備注：向學生強調上述題目改編自人教版數學教材第八冊（下）P122第15題.

2. 基本圖形的應用

問題1：（江蘇南通市中考題）

如圖2，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一點O為圓心的圓經過A、D兩點，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是（ ）

A. ■cm B. ■cm

C. 2■cm D. 2■cm

請學生觀察圖形的特點，想一想和前面的基本圖形有沒有聯系（基本圖形與圓的綜合），然后思考如何利用其中的基本圖形.

二、基本圖形變化引申

變式一：刪掉原題中的條件“AC=CE”.如圖3，在Rt△CAB和Rt△ECD中， 點D在邊BC的延長線上，且∠ACE= ∠B= ∠D=90°.則原題中結論還成立嗎？請說明理由.

請學生思考所求三角形之一的什么發生了改變.學生：邊.教師：兩個三角形還全等嗎？學生：不，應該是相似.

解決問題后總結相似情況下圖形的特點和結論.

問題1：如圖4，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直. 證明Rt△ABM∽Rt△MCN.

請學生觀察圖形的特點，想一想和前面的圖形有沒有聯系（圖形與特殊四邊形正方形的綜合），然后思考如何利用其中的基本圖形.

問題2：（廣東中考題）如圖4，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直. 設BM=x，CN=y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，y的值最大，并求出最大值.

請學生觀察圖形的特點，想一想和前面的圖形有沒有聯系（圖形與正方形、函數的綜合），然后思考如何利用其中的基本圖形.

變式二：弱化原題中的“兩邊相等”和“直角”條件.（呼和浩特中考題）如圖5，在等邊△ABC中，P為BC邊上的一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=■，則△ABC的邊長為______.

請學生思考所求三角形之一的什么發生了改變.學生：邊以及角.教師：兩個三角形還相似嗎？學生：相似，注意題目中所附加的特殊條件（等邊三角形）.

解決問題后總結特殊三角形相似情況下圖形的特點和結論.

變式三：弱化原題中的“兩邊相等”、“直角”和“三角形的形狀”.（南京市中考題）如圖6，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=60°，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），且∠BEF=120°，設AE=x，DF=y，求y與x的函數表達式.

請學生思考上面問題中的等邊三角形是否還存在.學生：不存在.教師：兩個三角形還相似嗎？學生：相似，注意題目中所附加的特殊角度（60°）.

解決問題后總結特殊角度相似情況下圖形的特點和結論.

變式四：推廣到一般情況.（安徽省中考題）如圖7，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME= ∠A = ∠B =α，且DM交AC于F，ME交BC于G.請寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對.

請學生思考上面問題中的特殊角度是否還存在.學生：不存在.教師：兩個三角形還相似嗎？學生：相似，注意題目中所附加的特殊關系（多個角相等）.

解決問題后總結多個角相等相似情況下圖形的特點和結論.

三、基本圖形綜合應用

問題1：（陜西省中考題）如圖8，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，且OB=2OA，點A的坐標是（-1，2）.（1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得△ABP與 △ABO的面積相等.

問題2：（河源市中考題）如圖9，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC為直徑的圓交x軸于E、D兩點（D點在E點右方）.（1）求點E、D 的坐標；（2）求過B、C、D三點的拋物線的函數關系式； （3）求過B、C、D三點的拋物線上是否存在點Q，使得△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標.

四、反思

1. 區性設計后的思考

本設計是在認真研讀人教版教材、人教版教學參考書、歷年中考數學真題以及中考數學考試說明的基礎上，嘗試從數學學科教學知識理論（MPCK）、加涅的學習結果分類理論的角度完成的.

教學設計模板分為五個部分“學與教的基本面分析，學與教的目標定位，學與教的重點與難點確定，學與教的方式與方法分析，學與教的過程設計”，主要希望體現如下思考：

（1）教師教的目的最終是為了促進學生的學，一切從學生出發進行教學，不僅要關注學生學到什么數學知識，更要關注學生學習的這些知識在其發展過程中所起的作用.

（2）教學設計的出發點是教學目標的定位，教學目標應該是可以觀測的，可以量化的.

（3）教學過程的設計應從學生學習的角度整體規劃，在幫助學生理解知識的產生與發展過程的同時，促進學生掌握知識.

（4） 教學過程的設計還應從知識結構的角度清晰體現數學知識內在的邏輯關系，揭示數學學科學習的特點.

2. 實施后的反思

教學設計只是課堂教學的預設，具體實施時，還有待根據教學的具體情境進行靈活的處理.另外，針對不同生源的學生，教師也需要對教學設計進行調整.期待各位教師對該教學設計的有效性進行檢驗，并在執教后進行評估.

責任編輯 羅 峰