數學學習中的直覺思維的培養

直覺思維是邏輯思維的有效推動力，直覺使我們發現，然后在發現的基礎上付諸嚴謹的數學表達，即邏輯推理，使我們最終獲得真理.直覺思維是培養創新能力的前奏，出眾的直覺是每一個數學家夢寐以求的.數學直覺思維如此重要，培養學生的直覺思維就顯得舉足輕重.

重視概念定理，開墾直覺思維的土壤.概念是最基本的思維形式.數學中的命題，都是由概念構成的，數學中的推理和證明，又是由命題構成的.因此，數學概念的掌握，是整個數學學習的一個重要環節.數學概念好比支點，而數學法則、定理好比杠桿，有了支點和杠桿，我們才能撬動手中的數學問題.

例1：如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AD是邊BC上的高，若AB=8，CD=3，AD=6，求⊙O的面積.

分析：求面積使我們很容易想到半徑或者直徑，那么構造直徑AE便順理成章了，如果對“直徑所對的圓周角是直角”這一推論很熟悉的話，連接BE也變得輕而易舉，同時可得∠ABE=∠ADC=90°.由于“同弧或等弧所對的圓周角相等”，所以∠E=∠C，之后可根據△ABE∽△ADC求出直徑.

評價：本題較好的體現了概念和定理對于解題的指引作用，學生如果熟悉概念定理，審題時，可以通過分析題目中的已知條件調動已掌握的知識組塊，在直覺思維下，解題思路的獲得顯得水到渠成了.其中所體現的直覺思維是迅速將平時反復使用的知識組塊接合，過程短暫，反應靈敏，領悟直接.由此可見，數學概念、法則、定理的掌握是直覺思維產生的土壤，沒有這些基礎，則思而無源，更不用提迅速地產生方法了.

重視數學思想，給直覺思維插上翅膀.數學思想是數學學科的精髓，是數學素養的重要內容之一，是影響學生形成認知結構的重要方面.在初中階段，主要涉及到的數學思想包括函數思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想、整體思想等等，這些思想若領會得好，會使得學生在面對問題時能瞬間從整體上把握解題方向.在此，僅以方程思想為例談談數學思想對直覺思維的重要影響.

例2：如圖2，在△ABC中，BC=3，AB=c，AC=b，且b，c是方程3x2-12x+7=0的兩根，∠ABC=60°，求△ABC內切圓的半徑.

分析：根據切線長定理，題目中有三對相等的線段，它們相互關聯，由這種關聯性很容易想到利用方程來求解，可設AD=AF=x，則BE=BD=c-x，EC=FC=b-x，于是可建立方程b-x+c-x=3，然后根據根與系數的關系求解.

評價：當問題中的各個量相互關聯時，利用方程建立等式是一種有效的方式，學生在面對問題時，產生切線長定理、特殊角的三角函數值等組塊與方程思想結合的反應，使問題得到解決，在教學過程中應適時地不斷滲透數學思想，從而不斷提高直覺思維的水平.

重視方法點撥，積累直覺思維的經驗.學生在解決問題的過程中產生直覺，知識組塊的反應經過不盡相同的多次反復，會由顯意識不同程度地轉入潛意識，從而提高直覺思維的質量和水平.因此，教師教學中的方法點撥就顯得尤為重要，方向明確的引導會使得學生的知識組塊更加豐富.

例3：（2010四川綿陽）如圖3，等腰梯形ABCD內接于半圓D，且AB=1，BC=2，則OA等于（ ）.

分析1：作OE⊥BC于點E，連接OB，并作BF⊥AD.此輔助線的直感產生源于垂徑定理可以將弦長的一半、半徑、弦心距很好地結合在一個直角三角形中的事實，并結合題目中已知的兩條弦長；不過若設半徑為r，由于OB2=OE2+BE2，易得r2=1+OE2，等式中有兩個未知量，不可求.怎樣才能很好地利用線段AB的長呢？作BF⊥AO，構造直角三角形，易得BF=OE，BE=OF.那么在 Rt△ABF中，AB2=BF2+AF2，所以1=r2-1+（r-1）2，可求得半徑長.

分析2：作OF⊥BC于點F并交AB的延長線于點E，連接BD.熟悉“直徑所對的圓周角是直角”使連接BD成為自然，而梯形的性質、BC與AB長度的數量關系、垂徑定理這一知識組塊可以幫助我們思考構造全等（△ABD≌△BFE）和相似（△EBF∽△EAO），然后利用線段的相等關系和比例關系求解.當然這一方法的得出并非一蹴而就，其間需要合理運用知識組塊以及形象直感，不斷的對問題進行分析、推理.

分析3：連接BD， BE ⊥AD于點E， CF⊥AD于點F.設半徑為，聯想到等腰梯形常用的分割方式，可以得出2AE=2DF=2r-BC，即AE=r-1，由射影定理可得AB2=AE·AD，即1= （r-1）·2r，可解.

評價：對于題目已知條件的不同理解，加上解題者自身知識組塊熟悉程度的差異，會產生題目的不同解法，解法1中側重利用了垂徑定理，解法2中則側重構造全等和相似，解法3中側重等腰梯形和射影定理.解題者自身的經驗與對不同知識組塊的熟悉程度促使解題者產生不同的思路，它們的共同點就是直覺思維產生解題方向，邏輯思維完成推理和運算.教師本人則需要從多個角度分析問題，解決問題，有意識地培養學生對已知條件的挖掘，結合學生自身的特點不斷積累經驗，豐富自己的知識組塊，提高直覺思維的水平.

直覺思維培養的三方面聯系緊密，不能割裂開來.概念和定理必須在方法的點撥中不斷強化才能真正地形成學生直覺思維的基石——知識組塊，對問題分析解決方法的不斷積累又不斷豐富著學生的知識組塊，數學思想不間斷的滲透使知識組塊的應用更有靈氣.實際上，解決問題的過程中也有可能會產生錯誤的直覺思維，導致束手無策，這就需要我們是自己的思維變得強大，能及時發現其中的不妥，重新找出問題新的關注點，換個思路去解決，這個問題在此不再贅述.

責任編輯 羅 峰