《測定電源電動勢和內阻》實驗中系統誤差的分析及處理

一、測量E和r的四中常見電路及其方法

1.如圖1（A）用伏特表、安培表、滑線變阻器各一個，以待測 E、r為對象，安培表接在伏特表外（以下簡稱外接法）。

2.如圖1（B）用伏特表、安培表、滑線變阻器各一個，以待測 E、r為對象，安培表接在伏特表內（以下簡稱內接法）。

3.如圖1（C）只用一個伏特表和兩個已知阻值的定值電阻。

4.如圖1（D）只用一個安培表和兩個已知阻值的定值電阻。

這四種電路設計都能測出E和r，但（C）（D）圖所示兩種方法只能得到一組E和r，不利于減小偶然誤差。而（A）（B）圖所示兩種方法可測多組數據，然后，剔除偶然誤差大的數據。用多次測量結果求平均值或用函數圖線綜合處理減小偶然誤差，得到合理結論。因而外接法和內接法（即圖1前兩種電路所示方法）才是《測定電源電動勢和內阻》實驗中所優先考慮的方法。

二、對常用方法測出的E和r產生的系統誤差分析

用RV和RA分別表示伏特表與安培表的內阻。E測和r測分別表示電動勢與內阻的測量值，E實和r實分別表示電動勢與內阻的真實值。

1.根據RV對測量結果的影響，圖1中（A）（C）兩個電路可等效為如圖2所示的電路。AB以下為內電路，暫稱為電源，圖中電壓表為理想電壓表。由圖可知：

① r測=RVr實/（r實+RV）=r實∕（1+■）< r實

② 斷開外電路時，RV有電流通過，這時：

E測=U斷=E實 - IV r實=E實-■r實= E實RV /（RV+ r實）

故外接法和只有一個伏特表測量法都為：r測

說明：外接法中RA對測量結果不影響。從上面分析可看出外接法中由于RV的存在使測量結果產生系統誤差，且RV越小誤差越大，RV越大誤差越小。

2.根據RA對測量結果的影響，圖1中（B）（D）兩個電路可等效為如圖3所示的電路。CD以下為內電路，暫稱為電源，圖中電流表為理想電流表。由圖可知：

① r測=RA+r實>r實

② 斷開外電路時，RA無電流通過，這時E測=E實

故內接法和只有一個電流表測量法都為：r測>r實、E測=E實

說明：內接法RV對測量結果無影響。而RA的存在使得r測量有系統誤差，且RA越大誤差越大，RA越小誤差越小。

三、誤差的處理及實驗的改進

從以上分析可知，由于RV或RA的影響，使得常用方法測得的結果都存在一定的系統誤差。那么，想要減小誤差，必須改進實驗方法。筆者在此提出兩種能有效減小誤差的處理方法。

第一種方法是：電路仍采用常見電路，只在數據處理中對結果進行修正。實驗時用外接法和內接法對同一電源分別測量，然后在同一坐標系上分別畫U—I圖線，利用圖線進行科學處理。

分析：前文提到外接法時，已分析得到：r測= RV r實/（r實+RV），E測= E實RV /（RV+ r實）。

在U—I圖線中與縱軸交點坐標為（0 ， E測）與橫軸交點坐標為（I短，0）。其中：

I短=■=■=■

亦即I短為電源短路電流真實值。如圖4中直線①。

前文提到內接法時，已分析得到：r測=RA+r實，E測=E實。在U—I 圖線中與縱軸交點坐標為（0，E實），與橫軸交點坐標為（I測，0）。其中I測= E測/ r測= E實/（RA+ r實），小于電源短路電流真實值。如圖4中直線②。

結論：直線①的I短為電源短路電流真實值，直線②的E實為電源電動勢真實值。把點（0，E實）和點（I短，0）相連得圖4中的直線③（虛線）。直線③的斜率的絕對值為：r測=△U/△I= r實。經過這樣的修正后誤差就大大減小了。筆者在這個實驗的教學中，指導學生采用這種方法進行測量和數據處理，收到了滿意的效果。

第二種方法是：通過改進實驗電路進行科學的處理，采用如圖5所示的電路。圖中E為待測電源，E1為附加電源，R、R1可變電阻器，G為靈敏電流計。

測量時接通S1、S2，通過調節R、R1使得靈敏電流計G指針指向零。此時表示流過待測電源E的電流和流過附加電源E1的電流相等，且A、B兩點電勢相等。則電壓表讀數U1為待測電源E的路端電壓，電流表讀數為I1，也是流過待測電源E的電流。這時有：

E = U1 + I1r①

改變R、R1使得靈敏電流計G指針再次指向零，又可讀得U2、I2，同樣有：

E = U2 + I2r②

由①②式可得：

E =（U2 I1- U1 I2）/（I1- I2）

r =（U2 - U1）/（I1- I2）

結論：通過這樣改進后，不存在外接法中RV分流的影響，也不存在內接法中RA分壓的影響，即沒有RV或RA帶來的系統誤差，使實驗誤差大大減小了。但是這種電路較為復雜，且靈敏電流計量程小，容易燒壞，所以在操作時應特別注意，只要選擇適當的電表，并細心操作，就能得到十分滿意的測量效果。

責任編輯 羅峰