例談初中數學中的最值問題

近幾年來，各地初三畢業、升學考數學試題中屢屢出現求最值問題，我們在數學教學中也經常碰到求最大（小）值的問題，這類問題往往與生活實際聯系緊密，不但體現數學的思想和方法，更體現數學在實際中的應用。

在一定范圍內求最大值或最小值的問題，我們稱之為最值問題。在初中階段，如何運用數學思想和方法來解決數學最值問題是值得探討的問題，本文結合初中數學常見的最值問題進行分析，尋求解決最值問題的一些方法。

一、利用函數自變量取值范圍的限制求最值問題

由于函數自變量取值范圍的限制，函數圖像局限于某一線段或某一部分。這樣，函數的值往往也確定在某個范圍內，從而存在最值，利用函數自變量取值范圍的限制求最值問題是初中數學中常見的方法之一。

二、利用配方法求最值問題

配方法，主要是利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2的結構特征。把待解決問題中的代數式，通過一定變形手段，構造出完全平方式：a2±2ab+b2，然后使式子表示成（a+b）2+k或幾個平方的和的形式，利用平方的非負性從而得到最值。

例1.設x，y為實數，代數式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值為 .

另外，我們經常利用二次函數的頂點性質求最值問題。如：求面積最大值，求利潤最大等。

三、利用根的判別式求最值問題

通常根的判別式可以判別一元二次方程根的狀況，可以用來研究二次函數圖像和x軸交點個數。在這里，我們還可以利用根的判別式求函數的最值。

例2.設x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的兩個實數根，當m為何值時，x12+x22有最小值，并求這個最小值。

分析：先由韋達定理知x12+x22是關于m的二次函數，思考是否存在拋物線的頂點處取得最小值，就要看自變量m的取值范圍，下面從判別式入手。

當問題分析得到二次函數的頂點式時，我們還要考慮到函數的頂點是否存在，如果頂點不可取得，那么問題變成為在a≤x≤b范圍內求最值。往往這些問題在考察分析綜合能力的同時，還考察思考問題的嚴密性。

四、利用幾何的方法求最值問題

數學是研究數量關系與空間形式的科學，“數形結合”是初中數學中重要的思想，利用定理“在同一平面內，兩點之間線段最短”幾何方法求最值問題是常見的好方法。

例3.如圖，在某個牧場A附近有個草場B，它們的旁邊有一條小河l。在這片土地上放養著一群牛。飼養員每天早上把牛從牧場趕到草場吃草，每天傍晚又把牛從草場趕回牧場休息。傍晚把牛趕回來時，飼養員每次都會讓牛先去小河邊喝水。設計一條把牛趕回來時的路線畫在圖上，要求路線最短。

分析：本題的難點不在于解題過程，而在于解題的思想方法。

解：首先，作點B關于L的對稱點B'，（如圖所示），∵OB'=OB，∠BOP=∠B'，OP=OP，∴△OPB≌△OPB'，∴PB=PB'.

因此，求AP+BP就相當于求AP+PB'。這樣，復雜的問題便通過轉化變得簡單，因此連接AB'得到最短路線，在L上確定點P，牛趕回來時的路線AP→PB最短。

數形結合是中學數學中重要思想方法之一，是數學的本質特征。它包含“以形助數”和“以數助形”兩個方面，正如華羅庚先生所指出：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直觀，形少數時難入微。”

五、利用不等式性質求最值問題

利用不等式性質求最值在高中階段較為常見，如：均值不等式，題目也比較靈活多變。但初中階段利用不等式性質求最值的解題思路比較直接，值得注意的是“方案設計問題”問題，通常先由不等式（組）求得多種方案再利用比較法求得最值，在此不再贅述。

責任編輯 徐國堅