初中圖形與證明學習的難點和解決策略

幾何是整個初中數學教學內容的重要部分。平面幾何是運用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質的一門學科，按照新課標在圖形與證明中的要求，應掌握用綜合法證明一些有關三角形、四邊形的基本性質，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。因此，培養學生邏輯推理能力是平面幾何教學的重要目的之一。但邏輯推理能力的培養要有一個循序漸進的過程，不能一蹴而就，弄得不好，有可能出現大面積的分化現象。

一、文字語言符號化

在開始幾何教學中，由于學生一直接觸的是文字語言和圖形語言，對符號語言還比較陌生。而符號語言又是空間與證明中必需要用到的語言。因此在教學中要培養學生對三種語言相互轉化的能力。由于三種語言的特點不同，在幾何教學中各自發揮的作用也不同。圖形語言形象、直觀，能幫助學生認識問題和理解問題；文字語言抽象、概括，對圖形本身及圖形中所蘊含的結論能精確地予以的描述、解釋，對幾何的定義、公理、定理、命題等內容能精確地予以表達；而符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象，具有更強的抽象性。在三種語言中符號語言是幾何初學者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎。因此教師在教學過程中應不失時機地訓練、培養學生將文字語言轉化為符號語言的意識和能力，同時教師使用的語言要與課本上表述的語言相一致，做到語言規范化。例如對于等腰三角形的性質 2——等腰三角形 “三線合一 ”到底是哪三線重合呢？學生非常容易出錯，而且學生在將其進行符號化的時候，往往會把等腰三角形 “三線 ”中的已知身份忽視。因此，教師應強調學生畫出圖形，結合圖形對其進行符號化。

圖形語言： 如圖。

符號語言：

（1）∵ AB=AC，∠BAD= ∠CAD（已知等腰△ABC 中AD是角平分線）

∴BD=CD，AD⊥BC（AD是中線和高）

（2）∵AB=AC，BD=CD（已知等腰△ABC 中AD是中線）

∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（AD是角平分線和高）

（3）∵AB=AC，AD⊥BC（已知等腰△ABC 中AD是高）

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（AD是中線和角平分線）

將文字語言圖形化、符號化的意識應貫穿幾何教學的始終，只有這樣才能為學生圖形與證明的學習建立良好的基礎。

二、題與圖的有效聯系

由于學生在解決幾何問題時常常存在題和圖分家現象，很多學生反映老是看了圖又忘了條件，特別是處理較為復雜的問題時這種現象更為突出。為了讓學生能很好地將題和圖有機統一，教學中可采用各種不同的記號把已知條件在圖形中表示出來，使條件更直觀地與圖形有機融和起來，從而克服 “看圖忘條件 ”的現象發生。

例如： 如圖，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2，求證：△ABD≌△ACE。

已知條件在圖中很直觀地表示出來了。

通常相等的線段可以分別用一杠、兩杠、三杠等記號對應表示出來，相等的角可以分別用點、叉、弧等記號對應表示出來，兩直線平行可以用同向箭頭對應表示出來，兩直線互相垂直可以用直角符號對應表示出來，等等。當然，還可以用自己特有的記號將已知條件在圖形中直觀地表示出來，不僅起到使條件直觀的作用，同時也起到暗示提醒的作用，有利于問題的有效解決。

三、靈活添加輔助線

平面幾何中添加輔助線的方法是靈活多變的，且是教學中的難點。這就要求我們熟練掌握數學中的基本概念和基本定理，在實踐探索中經常進行歸類總結，仔細分析題目給出的條件，找到隱含的及一些有規律的信息，以儲備添加輔助線的知識。以全等三角形為例，常見輔助線的作法列舉幾種如下：

遇到等腰三角形，可作底邊上的高， 利用 “三線合一” 的性質解題。

遇到三角形的中線，延長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形。

遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，也可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形。

過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形。

截長法與補短法，在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類型的題目。

責任編輯 羅峰