高中物理極值問題的求解與分析

高中物理知識點多、解題方法多樣.有一類是極值問題的求解，這類問題是高中物理教學中經常遇到的一類問題，是核心知識點，高考壓軸題中經常出現，是學生感到難解的題型之一.求解極值問題的方法一般可以分為兩類，一類是物理方法，另一類是數學方法，下面就運用這兩類方法對求極值的問題加以解析.

一、用物理方法求解極值

1. 分析物理過程，尋求極值條件求解

例如：如圖1所示，質量為1g的小環帶4×10-4C的正電，套在長直的絕緣桿上，兩者間的動摩擦因數μ=0.2.將桿放入都是水平的互相垂直的勻強電場和勻強磁場中，桿所在平面與磁場垂直，與電場的夾角為37°.若E=10N/C，B=0.5T，小環從靜止啟動.求：（1）當小環加速度最大時，環的速度和加速度；（2）當小環的速度最大時，環的速度和加速度.

解析：（1）小環從靜止啟動后，受力情況如圖2，隨著速度的增大，洛侖茲力便增大，于是正壓力減小，摩擦力減小，加速度增大.當環的速度為v時，正壓力為零，摩擦力消失，此時環有最大加速度amax.（2）在上述狀態之后，環的速度繼續增大導致洛侖茲力繼續增大，致使小環下側與桿之 間出現擠壓力N，如圖3.于是摩擦力f又產生，桿的加速度a減小，v↑？圯Bvq↑？圯N↑？圯f↑？圯a↓，當a減小到零時，環有最大速度vmax.

解：（1）在平行于桿的方向上有：mgsin37°- Eqcos37°=mamax

解得：amax=2.8 m/s2

在垂直于桿的方向上有：Bvq = mgcos37°+ Eqsin37°

解得：v=52 m/s

（2）在平行于桿方向有：mgsin37°= Eqcos37°+ f

在垂直于桿方向有：Bvmaxq = mgcos37° + Eqsin37° + N

又f = ？滋N

解得：vmax = 122m/s

求解這類極值問題，關鍵要細致地分析物理過程，理順物理量的關系，找出變化點和轉折點，尋找到極值的條件.這就要求教師平時要引導學生養成重視分析物理過程求解習題的習慣，這也是學好物理的根本方法之一.

2. 利用物理圖像求解極值

例如：物體A、B同時從同一地點，沿同一方向運動，A以10m/s的速度勻速前進，B以2m/s2的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，求A、B再次相遇前兩物體間的最大距離.

解析：根據題意作出A、B的v-t圖像，如圖4所示可知，A、B再次相遇前它們之間距離有最大值的臨界條件是vA=vB，得t=5s. A、B間距離的最大值數值上等于ΔOvAP 的面積，即ΔSmax= ×5×10m=25m.

這類問題要求學生具有將物理現象轉化為圖像問題的能力.這就要求老師在平常的教學中加強對這方面知識的教學引導.要求學生能全面系統地看懂圖中的“軸”、“線”、“點”、“斜率”、“面積”、“截距”等所表示的物理意義，形成利用圖像解題的習慣.

二、用數學方法求解極值

數學方法是研究物理學的一種基本方法，其內容就是把數學的思想、方法，以至結果應用于物理過程的描述和分析之中，以求得問題的答案.

1. 用二次函數求極值

例如：如圖5，一半徑為R的光滑絕緣半球面開口向下，固定在水平面上.整個空間存在勻強磁場，磁感應強度方向豎直向下.一電荷量為q（q>0）、質量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運動，圓心為O′.球心O到該圓周上任一點的連線與豎直方向的夾角為θ（0<θ< ）.為了使小球能夠在該圓周上運動，求磁感應強度大小的最小值（重力加速度為g）.

解析：據題意，小球P做勻速圓周運動，圓心為O′.P受到向下的重力mg、球面對它沿OP方向的支持力N和磁場的洛侖茲力f=qvB.

根據牛頓第二定律：

Ncosθ - mg = 0

Nsinθ - f =

解得：v2- v+ = 0

由于v是實數，必須滿足： Δ = 2 - ≥0

由此得：B≥

可見，為了使小球能夠在該圓周上運動，磁感應強度大小的最小值為Bmin= .

這類問題，要求學生善于發現等式中的特點，能和二次函數的表達式聯系起來，然后利用判別式△≥0求解極值.所以教者平時就要善于啟發引導學生發現規律和所學的數學知識聯系起來進行解題，挖掘學生利用數學知識解題的潛能.

2. 利用矢量作圖法求極值

例如：如圖6，已知質量為m、電荷為q的小球，在勻強電場中由靜止釋放后沿直線OP向斜下方運動（OP和豎直方向成θ角），那么所加勻強電場的場強E的最小值是多少？

解析：根據題意，釋放后小球所受合力的方向必為OP方向.用三角形定則從圖中不難看出：重力矢量mg的大小方向確定后，合力F的方向確定（為OP方向），而電場力Eq的矢量起點必須在mg矢量的末端，終點必須在OP射線上.在圖中畫出幾組可能的電場力，不難看出，只有當電場力方向與OP方向垂直時，Eq才會最小，所以E也最小，有Emin= .

這類問題的關鍵是根據矢量合成的平行四邊形定則或三角形法則作出矢量圖，并加以分析.這實質利用了直線外一點到直線的距離垂線段最短的原理，這種方法也適合變力的分析.因此老師平時就要加強學生形成畫圖解題的習慣.

責任編輯 羅峰