善用數學歸納法 巧證數列綜合題

陳光穎

【摘要】本文主要是探討如何巧用數學歸納法證明有關數列與不等式的綜合題型，以替代傳統的復雜證明方法，并且探討如何運用數學歸納法證明看似不能用數學歸納法證明的有關數列與不等式的綜合題型，從而使更多同學能從容面對這類復雜的證明問題。

【關鍵詞】數學歸納法 不等式證明

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）05-0137-02

美國數學教師協會在2000年修訂數學課程標準時，主張數學教育宜強調平等的原則，每一位學生的潛力都應該獲得相當的重視，對于學生有所不足時，要給予補救教學。

在高中數學教學中，有關數列與不等式的綜合問題的證明往往是學生學習的難點，很多的證明方法無從下手且難以運用，從而使眾多學生對該類題型產生了負面情緒，甚至對這類證明題產生排斥的態度。

數學歸納法——這種用以證明當n屬于所有自然數時一個表達式的成立的證明方法，卻能以其獨有的特點能讓大多數學生容易接受并正確運用。近些年來，數學歸納法在高中的數學教材中不僅占據著非常重要的地位，同時也是高考中不可或缺的一種解題方法。所以探討如何正確使用數學歸納法并擴大數學歸納法的使用范疇，便有著重要的意義了。

下面我們先來看一個試題：

已知數列{an}的通項an=3n-1（n∈N*），且數列{bn}滿足an（2bn-1）=1，并記Tn為{bn}的前n項和，求證：3Tn+1>log2（an+3），n∈N*。

一般資料提供的常用的證明方法或用比較法以結合數列的增減性，或用放縮法對其進行證明。這些方法雖然是不等式證明中的重要方法，然而掌握起來并不輕松，尤其在考試中很難輕易運用。

其實，當我們發現被證明的結論最簡化的形式為“f（n）>g（n）”，便應該想到運用數學歸納法。因為數學歸納法不僅可以減少思考時間，而且由其固定程式，可使解題變得輕松。以下我們用數學歸納法來證明該題。

不難發現，用數學歸納法證明該題，不僅不需要復雜的思維過程，甚至連運算也變得機械化，只需按照固定的程式按部就班地進行證明便可得到完美的結果。

數學歸納法證明有關于數列與不等式的部分綜合題型固然是簡單易行，但在以往，我們總覺得它有很多涉及不到的地方。下面我們以《2006年普通高等學校招生全國統一考試理科數學試卷》的壓軸題為例：

設數列{an}的前n項的和Sn=■an-■×2n+1+■，n=1，2，3…

①求首項a1與通項an；

②設Tn=■，n=1，2，3…證明：■Ti<■。

其解題方法讀者可以參照《2006年普通高等學校招生全國統一考試理科數學試卷》標準答案，事實上，很多學生在證明該題的過程中，一般會得到Tn=■=■而很難得到Tn=■=■×■的形式，從而無法用裂項的辦法來處理這個求和的問題。此時，我們是否也能用數學歸納法對這類命題進行論證呢？

我們由題中的不等式■Ti<■（n∈N*）不難看出，由于不等式的左邊從n=k到n=k+1的轉換過程中數值在增大，而不等式的右邊卻是一個常數，所以即使假設n=k時，不等式成立，也無法證明n=k+1時不等式仍然成立。也就是說一般的形如f（n）

我們知道，數學歸納法是使用數學歸納法原理，經由演繹以證明一些由特例所推導出來的數學敘述的證明方法（朱綺鴻，1999）。在數學歸納法的教學中，若能顧及到“觀察、歸納、臆測、證明”而安排先歸納出結果再以數學歸納法證明之，而不是讓學生只做證明題的敘述恒為真而已，那將能融入歸納與演繹互相支持與互補的精神。

就以上論述，下面我們觀察■■Ti，并計算該數列的前幾項：

根據以上數據我們可以猜想出■Ti=■（1-■）<■，因為■（1-■）<■，所以我們只需證明■Ti=■（1-■）成立，就能得到結論成立。下面我們就用數學歸納法對猜想的結果進行證明，證明如下：

以上證明的過程是通過觀察、歸納并猜想出其求和，從而輕松地運用數學歸納法進行證明的一個實例。在很大程度上可操作性變得更強，也是大多學生能夠接受的一種解題辦法。

所以當我們很好地運用數學歸納法，合理地顧及到“觀察、歸納、臆測、證明”而安排先歸納出結果再以數學歸納法證明，這對于證明數列與不等式的綜合題型是有著非常重要意義的。

參考文獻：

[1]陳建蒼、柳賢主 《數學史融入數學歸納法教學之探究》

[2]朱綺鴻《高中師生對數學歸納法了解的情況與教學因應之道》