一道高考題的一種特殊解法

徐家銀

摘 要： 2008年高考全國(guó)卷I（大綱版）理科第20題比較難，考生不好理解，得分率較低，屬近幾年高考中比較難的概率題。本文給出一種比較好理解的解法，供讀者參考。

關(guān)鍵詞： 高考題 特殊解法 概率

2008年高考全國(guó)卷I（大綱版）理科第20題概率的計(jì)算比較難，考生不好理解，往往不懂得從哪里入手。據(jù)統(tǒng)計(jì)，該題的得分率比較低，屬近幾年高考中比較難的概率題。下面筆者給出一種比較好理解的解法，供讀者參考。

【原題】已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物。血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒(méi)患病。下面是兩種化驗(yàn)方法：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止。

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)。若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).

（Ⅰ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望。

解：（Ⅰ）要求的是依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率，而學(xué)生不容易看得出這兩種試驗(yàn)方案所需要的試驗(yàn)次數(shù)。事實(shí)上可先把兩個(gè)方案試驗(yàn)的可能情況一一列出來(lái)（見下圖）。