數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

黃慶流

摘 要：課程標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)內(nèi)容的要求突出強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)模型思想的滲透。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)滲透建模思想、開展數(shù)學(xué)建模的活動，可提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，同時也是推進素質(zhì)教育的一個突破口。在對數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)建模思想研究的基礎(chǔ)上，開展對中學(xué)的方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計、三角形等教學(xué)內(nèi)容進行數(shù)學(xué)建模教學(xué)進行了一些探討。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)建模思想；應(yīng)用

隨著新課程改革，教材編寫背景結(jié)合了生活實際和社會實踐，突出了理論與知識結(jié)合，理論與實踐結(jié)合，強調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，呼喚數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在教學(xué)中，應(yīng)注重讓學(xué)生在現(xiàn)實背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程。”在教學(xué)中，滲透和應(yīng)用建模思想是每位數(shù)學(xué)教師的責(zé)任。

一、數(shù)學(xué)建模思想的概念及其意義

所謂數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地、概括地表達(dá)所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方式，它不僅能夠為學(xué)生提供自主的學(xué)習(xí)空間，還能夠增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的意識，從而有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用舉例

數(shù)學(xué)建模思想可應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)哪些地方呢？根據(jù)課標(biāo)要求和現(xiàn)行教材內(nèi)容，主要有：不等式的應(yīng)用、函數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)的應(yīng)用、幾何的應(yīng)用等。結(jié)合時代發(fā)展的特點，教材和習(xí)題中涉及現(xiàn)代生活的經(jīng)濟統(tǒng)計圖表（識別、分析、繪制）、動態(tài)規(guī)劃（生產(chǎn)計劃問題等）、網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃（繪制、計算、優(yōu)化）、股票、彩票發(fā)行模型，風(fēng)險決策、市場預(yù)測、存貯原理、供求模型、廣告與稅款等等，還有跨學(xué)科的生態(tài)平衡、環(huán)境保護、人口生命等方面的問題等等。現(xiàn)舉一些例子，進行簡單介紹。

1.為了解決實際生產(chǎn)生活的“等量或不等關(guān)系”問題，建立或化歸為方程或不等式模型

現(xiàn)實世界中廣泛存在著數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，如投資決策、人口控制、資源保護、生產(chǎn)規(guī)劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的有關(guān)數(shù)量問題，常歸結(jié)為方程或不等式求解。例如字母符號是基本的數(shù)學(xué)語言，在應(yīng)用問題中用x表示實際問題中的未知量，通過分析問題中已知量與未知量的相等或大小關(guān)系，“翻譯”成表示未知數(shù)x和已知數(shù)之間相等或大小關(guān)系的方程或不等式，即得到刻畫實際問題的相等或大小關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。例如，某市民政局將其全市為四川受災(zāi)地區(qū)捐贈的物資打包成件，其中帳篷200件，食品120件。現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共八輛，一次性將這批帳篷和食品全部運往受災(zāi)地區(qū)。已知甲種貨車最多可裝帳篷40件和食品10件，乙種貨車最多可裝帳篷和食品各20件。則民政局安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫忙設(shè)計出來。我們可以用建模的思想方法，建立或化歸為不等式模型，設(shè)安排甲種貨車x輛，則乙種貨車為（8-x）輛，根據(jù)題意得40x+20（8-x）≥200，10x+20（8-x）≥120，解得2≤x≤4，而x為整數(shù)所以x只能取2、3、4，相應(yīng)的（8-x）的值為6、5、4。因而安排甲、乙兩種貨車方案有三種：第一種方案：甲種貨車2輛、乙種貨車6輛；第二種生產(chǎn)方案：甲種貨車3輛、乙種貨車5輛；第三種生產(chǎn)方案：甲種貨車4輛、乙種貨車4輛。可見，解題時只要先弄清問題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，然后建立或轉(zhuǎn)化為方程或不等式模型，從而便能靈活簡便地解答問題。

2.為了解決實際生產(chǎn)生活的“動態(tài)變化”問題，建立或化歸為函數(shù)模型

函數(shù)是研究運動變化的重要數(shù)學(xué)模型。生活中普遍存在著最優(yōu)化問題——最佳投資、最小成本、設(shè)計最佳等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題（盈利最大、用料最省），通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法解決。下面以一道經(jīng)濟效益最大化的問題進行簡單介紹。例如：某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元銷售，平均每天銷售90箱，價格每降低1元，平均每天多銷售3箱，價格每升高1元，平均每天少銷售3箱，為了賺得最大利潤，售價應(yīng)定為多少？最大利潤為多少？在教學(xué)中引導(dǎo)分析：①利潤的含義；②在研究利潤問題時，常用的一個關(guān)系式：利潤=每件商品所獲利潤×銷售件數(shù)，數(shù)學(xué)建模，問題求解：設(shè)售價為x元，總利潤為w則每箱的利潤為（x-40）元，平均每天銷售（-3x+240）箱，根據(jù)題意，有：w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200。因為a=-3<0，所以此函數(shù)圖像開口向下，W有最大值。所以當(dāng)x=60時，利潤最大為1200元。這里就是把最大利潤問題通過數(shù)學(xué)建模轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最大值問題，再回到實際問題中去使問題得以解決。

3.為了解決實際生產(chǎn)生活的“信息處理”問題，建立或化歸為統(tǒng)計模型

統(tǒng)計在我們生活中是經(jīng)常被用到的，我們進行的人口普查、每年進行的勞動報酬統(tǒng)計；每年的GPI、GDP統(tǒng)計等，都有有關(guān)數(shù)據(jù)收集和分析。這些都可建立或化歸為統(tǒng)計型模型，從而使學(xué)生養(yǎng)成樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學(xué)信息，愿意談?wù)撃承?shù)學(xué)話題，用數(shù)學(xué)的思維思考生活中的實際問題的習(xí)慣。例如：我國50年來全國運輸線路長度統(tǒng)計表；海爾公司近十年來的銷售總額；某校初三年級男生的身高統(tǒng)計等等，這些都是運用統(tǒng)計模型，隨后，再將這些數(shù)據(jù)直觀形象地展現(xiàn)在頻率直方圖或頻數(shù)直方圖上，這樣學(xué)生可以非常清楚地看到，這些數(shù)據(jù)的變動情況，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計模型應(yīng)用的簡便性和直觀性，使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂氛圍，提高學(xué)生的應(yīng)用意識。

4.為了解決實際生產(chǎn)生活的“數(shù)形統(tǒng)一”問題，建立或化歸為幾何模型

現(xiàn)實世界中涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，如航行、建筑、測量、人造衛(wèi)星運行軌道等，常需建立相應(yīng)的幾何模型，應(yīng)用幾何知識轉(zhuǎn)化為用方程或不等式，或三角形知識求解。例如：海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁。今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處。之后，貨輪繼續(xù)向東航行，貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁危險嗎？為什么？此題進行數(shù)學(xué)建模，化歸到兩個直角三角形中去求解，再回到實際問題中去使問題得以解決。

三、數(shù)學(xué)建模思想的實施需要注意的事項

數(shù)學(xué)建模思想現(xiàn)已被應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個方面，但是每個事物都是有利與弊兩個方面的。在運用數(shù)學(xué)建模思想時，為了保證學(xué)生能夠正確地運用數(shù)學(xué)建模思想，教師要讓學(xué)生注意每個模型中需要注意的一些問題。如，在函數(shù)模型當(dāng)中，學(xué)生需要注意的是要建立正確的函數(shù)關(guān)系，這是解決問題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到未知量和已知量，找到正確的等量關(guān)系，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確地建立函數(shù)關(guān)系式。在統(tǒng)計模型中，由于數(shù)據(jù)較多，最需要學(xué)生注意的就是細(xì)心，不要遺落等等。這些都是在實施建模思想過程中需要注意的事項。只有當(dāng)學(xué)生能夠正確地建立數(shù)學(xué)模型時，學(xué)生才能真正地將數(shù)學(xué)知識運用到實際生活當(dāng)中，才能在正確的解答過程中體會到成功。

綜上所述，中學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數(shù)學(xué)能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。通過建模教學(xué)，可加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法的理解和掌握，調(diào)整學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，深化知識層次。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想、方法，形成學(xué)生良好的思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的能力。

參考文獻：

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[2]瞿啟珍.淺析數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].讀寫算教育理論，2012（3）.

（作者單位 廣東省河源市紫金縣爾崧中學(xué)）