繼承和構造思想在高中數學導數問題中的應用

蘇旭景

“導數”是高中新課程新增加的內容之一，是高中數學知識體系的重要組成部分，高考每年必考，而且在解答題中一定出現。導數在培養學生良好學習素養、提升學生解題能力和創新精神中發揮著重要作用。導數是整套試題的制高點和難點，有些同學談導數色變，覺得它高不可攀，敬而遠之，致使一些分數眼睜睜的拿不到手，無可奈何。面對導數問題如何多得分數，掌握靈活、實用的解題方法和策略是學好導數知識的關鍵，本文談談繼承和構造思想在導數問題中的應用，希望能夠對大家有所啟示。

一般來講，一道導數解答題中會設計2至3個小題，在解決后續問題時，往往需要用到前一小題既得的結論才能使得問題得以解決，這就是所謂的繼承思想。

例如：已知函數f（x）=2x2，g（x）=alnx（a>0），且不等式f（x）≥g（x）恒成立。

（1）求a的取值范圍；

（2）求證：■+■+…+■<■（其中e為無理數，約為2.71828）。

[思考流程] （條件）函數解析式→ （目標）一個是不等式恒成立、一個是證明不等式 →（方法）構造函數，然后使用導數研究函數的性質，根據函數性質即可得出參數范圍和所證不等式。

解：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=2x■-alnx，

F′（x）=4x-■，

令F′（x）=0，得x=■，所以F（x）的減區間為■，增區間為■，

F（x）■=F（x）■=F（■）=■-aln■，

只要■-aln■≥0即可，得a≤4e

又a>0，∴a的取值范圍為（0，4e]。

[思考流程] （條件）函數解析式→（目標）一個是不等式恒成立、一個是證明不等式→（方法）構造新函數，然后使用導數研究函數的性質，根據函數性質即可得出參數范圍，繼承（1）所得結論證明不等式。

（2）證明：由（1）得2x■≥4elnx，即■≤■，

所以■+■+…+■≤■（■+■+…+■）

<■（■+■+…+■）<■

本題通過導數研究不等式，達到求參數取值范圍，證明不等式的目的，其基本思想是構造出函數，通過對構造函數性質（極值，最值）的研究，得一關于參數恒成立的不等式，最后求出參數的取值范圍。

尤其第（2）問的證明繼承了第（1）問的結果可以輕松得證。

再如：已知函數f（x）=lnx+■

（1）若函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，求正實數a的取值范圍。

（2）當a=1時，求函數f（x）在■，2上的最大值和最小值；

（3）當a=1時，證明：對任意的正整數n>1，不等ln n>■+■+■+…■式都成立。

解：（1）由已知得函數f（x）的定義域為（0，+∞）

f′（x）=■，a>0

f（x）在區間[1，+∞）上是增函數

∴當時x∈[1+∞），f′（x）=■a≥0即a≥■恒成立。

∵當時x∈[1+∞），■的最大值為1∴正實數a的取值范圍為[1，+∞）。

（2）當a=1時，由（1）知函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數。

∴當x∈[■，1）時，f′（x）<0即f（x）在區間[■，1）上是減函數

當x∈[1，2]時，f′（x）>0即f（x）在區間[1，2]上是增函數

又f（■）-f（2）=1-ln2-（ln2-■）=■-2ln2=■>0

∴f（■）>f（2）

∴f（x）在[■，2]上的最小值為f（1）=0，最大值為f（■）=1-ln2。

（3）當a=1時，由（1）知函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數。

∴當x∈[1+∞）時，f（x）>f（1）=0

即lnx+■>0即lnx>■

令■=■，n>1則x=■>1 ∴ln■>■

∴ln■+ln■+ln■+ln■>■+■+■+…+■

∴ln n>■+■+■+…+■

∴對任意的正整數n>1，不等式ln n>■+■+■+…+■都成立。

本題在解決第（2）小題時，注意觀察a=1時適用于（1）的結論，所以繼承第（1）的結論，f（x）在[■，2]上單調性直接可得，進而f（x）在上的最值得解。

在解決第（3）小題時，注意觀察a=1時適用于（1）的結論，所以繼承第（1）的結論，構造與求證式相近的形式，通過對構造形式進行賦值，得證恒成立的不等式。

通過以上兩例體現繼承和構造思想在高中數學導數問題中的應用，所以在解決類似問題時，要有繼承上一問題結論的意識，樹立構造函數和構造形式的意識，達到盡最大可能多得分數的目的。

【責編 閆 祥】