搭建并不陡峭的高度

邱寶華

近年來，筆者積極倡導教師用“理性教學”的理念推進數學課堂教學的改革，并把培養“基礎扎實、思維靈活、探索積極、視野開闊”的學生作為自己數學教育工作的終極目標。在此過程中，我針對常見的教學做法進行了創新思考和理性實踐。現整理成文，以求教于大方之家。

一、回到生活中尋找數學思考的力量和靈光

生活世界是人類的精神家園。當我們一門心思地投入到科學世界的懷抱中的時候，不止一次地發現，數學的真理性認識有時真的讓孩子們難以接受和理解，至于自如運用就更是誠惶誠恐了。于是，我們在前行的路上需要回到生活世界尋求幫助，讓數學學習生長于斯，亦逝于斯。

1.尋求有用的問題和情境來探索

如教學《圓的認識》的內容，針對知識點瑣碎的情況，可以跳出課本框架，回到有價值的生活問題的探究，即用“為什么車輪是圓的”和“為什么用旋轉打開的容器，它的口子要做成圓形”這樣兩個問題支撐起整節課教與學的流程，把“對圓心、半徑、直徑的認識，同一個圓中半徑相等、直徑相等且都有無數條，同圓中直徑與半徑的長度關系，直徑為圓中最長的線段以及如何畫圓”這些知識涵蓋其中進行創造性教學。在探索解決兩個生活問題背后的數學道理和本質解釋的過程中，學生不知不覺地“順便”學習了有關圓的知識，并獲得了深刻的學習體驗。如此設計，充滿新意，意蘊深厚。

2.找到有力的事例和道理來支撐

如運用乘法分配律進行簡便計算時，經常會有學生出現“65×5+35×5=（65+35）×5=65×5+35×5=325+175=500”的情況，此時，我則會借生活事例幫助學生理解算式變形的意義所在。如“小明的媽媽讓小明去廚房拿碗盛飯，等了半天，還不見小明過來。于是，媽媽去廚房看看小明在干什么，結果發現小明正在把飯盛進碗里后又倒回鍋里，接著又盛起，又倒回。（學生哈哈大笑）你們說，把飯盛進碗里是為了什么？（吃飯！）對，利用乘法分配律把5個65與5個35配成5組（65+35）的目的是為了簡算。如果再‘倒回去，還能簡算嗎？（不能！）”生動的事例，帶給學生的不只是個中意義的理解，還有數學的“可愛”。像這樣來自生活世界的事例和道理還有很多。

3.覓得有效的方法和思想來超越

如“三角形的面積計算公式”的推導教學，教材的編排思路是讓學生先用兩個完全一樣的三角形（共三組，依次是直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形）試拼成平行四邊形，確信能拼成平行四邊形之后，讓學生用數格子的方法求出平行四邊形和每個三角形的面積，并填入表格內進行比較，從數據上發現三角形的面積是平行四邊形的一半。然后，思考它們的底、高有怎樣的關系，接著，在教師的引導下推導出三角形面積的計算公式。整個學習過程，有探究，有推理，學生可謂全程參與，但后續運用公式時仍然會丟掉“÷2”。這表明，學生僅從形式上“一知半解”，缺乏對“÷2”的實際領悟。

我苦思之后得新法，終于取得實質性的突破。首先，出示一粒大米和一架天平，讓學生稱出大米的重量。學生操作后發現，一粒大米的重量根本無法稱出，因為太輕了，隨即想到可以稱出10粒相同大米的重量，然后再除以10。接著，出示直角邊分別為4cm和2cm的直角三角形，讓學生計算它的面積。學生在先前稱一粒大米的方法和思想的基礎上，想到要求一個三角形的面積，可以先求兩個三角形的面積（即長方形或平行四邊形），然后“÷2”即可。接著，再讓學生分別計算出底3cm、高2cm的銳角三角形和底4cm、高1cm的鈍角三角形的面積。三類三角形的面積計算之后，讓學生思考“三角形的面積如何計算”，進而形成板書“三角形的面積=兩個三角形的面積÷2=底×高（即等底等高的平行四邊形的面積）÷2”。立足生活中問題解決的方法和思想的遷移，我和學生一起輕松巧妙地解決了這道教與學的難題。

二、立足數學的認知體系縱橫貫通上下求索

眾所周知，數學知識具有較強的邏輯性和關聯度。我們把知識的習得根植于生活經驗之上的同時，怎樣才會不造成知識“碎片”的堆積呢？如何敞亮視角，讓學生在數學認知結構中“進得去”，又“出得來”呢？這些問題的有效回答，將直接關系學生知識結構的牢固程度和靈活程度。

1.凸現知識建構的生長點和發展區

如六年級“確定位置”的教學，可由已學的相關知識“第幾排（組、層）第幾個”和“用數對表示某一點的位置”引出話題，指向航海等領域需要從方向和距離兩個方面確定物體所在位置的研究。進而，讓學生充分感悟到離觀測點同樣距離的情況下，還是難以精確定位。例如，點的位置雖然都在北偏東的范圍內，但仍有多個可能。為此，需要從北偏東的方向角的具體度數上加以考慮。這樣，方向的描述就有范圍和方向角兩個維度。教學完新知之后，還可以把數學思維引向三維空間中物體位置的確定，讓學生利用課余時間查一查資料，交流認識再學習，增強學生數學學習的興趣。

2.展現廣闊的知識背景和研究方向

不識廬山真面目，只緣身在此山中。很多時候，我們把教與學的困惑放至更為廣闊的知識背景之下和大的研究方向之內時，往往會有所啟發和創新。比如，關于植樹問題“找規律”的教學，很多教師極容易根據課本習題的類型分別展開教學，具體教學思路從板書1和板書2中可窺見一斑。而我的教學創新之處，就在于不是讓學生判斷碰到的問題是兩端相同，還是兩端不同，或者是封閉與否，而是讓學生自然地觀察和想象，確定是一一對應的，還是對應不完整，教學思路從板書3中可見端倪。

（板書1）

找規律

兩種物品 一個一個間隔排列

兩端數 間隔數

兩端一樣 10 9

8 7

12 11

封閉圖形 6 6

7 7

（板書2）

[找規律——間隔排列

兩端相同 兩端物體比中間物體多1][兩端不同

封閉圖形][物體個數相同][

]

（板書3）

[找規律

一一對應：0—0—0—0—

—0—0—0—0

對應不完整：0—0—0—0

—0—0—0 —] [0][0][0][0][0]

3.呈現另一個研究范式和理論框架

在研究“三角形面積的計算”時，我就思考這樣一個問題：教學有困惑時，我們需要突破，那沒有困惑時，要不要突破呢？比如，平行四邊形面積計算公式“底×高”，水平再差的教師教下來，學生也能理解并運用。但學生是記住的，還是理解的呢？理解的程度是單一淺層，還是多元深度呢？“底×高”的知識到底能在學生的哪個認知深處可以生發？其實，平行四邊形面積計算公式的推導由長方形面積推導得出，是數學知識由特殊推廣到一般的典型形式（長方形本為平行四邊形，長即底，寬即高），完全可以在長方形面積計算公式的由來之處尋得答案，即一排的面積單位數×排數=總面積數。在一定程度上，生活世界和數學世界所有兩個數量的相乘，都可以看成是二維空間矢量的相乘，都是“一排數×排數=總數”的擴展和變化，“底×高”也不例外。因此，考慮到“底”、“高”這兩個維度時，可以把底和高均為整厘米數的平行四邊形等分成多個面積為1平方厘米的小平行四邊形，這在教科書帶有網格背景的圖形上是可以將小平行四邊形轉化為面積1平方厘米的正方形進行佐證和理解的。如此嘗試和改進，帶給學生的是全新的研究范式和理論框架。

三、啟用歷史發展的維度審視教學疑難困惑

數學是人類文化的一部分，它伴隨人類的發展而發展，逐漸變得愈加科學和成熟。無論是陳述性知識（如數學的概念、性質、法則、定理等），還是程序性知識（如運算、數據處理、推理、作圖、制表等），抑或是策略性知識（如數學思想、數學方法、數學觀念等），在其內化的過程中，必然出現一系列“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難或困惑，還有各種不準確的表達，不正確的操作，不合理的策略等失誤或錯誤。而這猶如歷史發展的演變進程，此時如果能用歷史的眼光來了解和分析數學知識，構建“活”的數學知識結構，對學生而言，將會具有特殊的重要作用和特別的學習意義。

1.追溯陳述性知識的歷史源頭

如認識負數時，教師若只是略加說明 “+” 為正號，“-”為負號，肯定會讓學生覺得又多了一個要記憶的東西而已。為什么正號是“+”，而負號是“-”？其實是可以追尋其歷史的。據說，中世紀的歐洲酒商在售出酒后，曾用橫線標出酒桶里的存酒，而當桶里的酒又增加時，使用豎線條把原來畫的橫線劃掉，于是出現了表示減少的“-”和用來表示增加的“+”。當學生看到和觸摸到正號、負號的“體溫”和“生命”之后，就會形成良好的數學學習感受，而不是只當作數學常識來記憶了。

2.還原程序性知識的發展軌跡

例如《乘法的初步認識》的教學，可以讓學生嘗試把相同數的連加算式寫得更簡單。學生在算式“+”之間加上“……”或“等等”時，自然、真實地體會到好的寫法應該清楚地表示出“一個加數”和“有幾個加數”。如此，學生對乘法的意義就有了一定的理解，乘法算式的寫法也就水到渠成了。逐步把連加算式寫簡便的“仿史”過程，雖然無法從數學史中直接獲取，但依據萌芽時期的數學源于生活常識、生活中“寫簡單”的事理，用歷史發展的眼光還原其歷程，能讓學生看到數學的深刻和抽象實際上孕育在具體和直觀之中。

3.揭示策略性知識的思想本質

如《角的度量》的教學，傳統教學往往是先認識量角器和角的計量單位“度”，接著教學量角的方法“對點、對邊、讀刻度”，最后就進行大量的練習。結果不少學生仍不會擺量角器，即使擺好了量角器也不會讀刻度，內圈和外圈分不清。我以為，此內容看似是程序性知識，但本質上還是策略性知識。因為角的度量的思想本質是“看對象中含有多少個單位小角”和“量角器的本質是單位小角的集合”。怎樣揭示呢？可以這樣：⑴由角的大小的意義引出可以用單位角來度量角的大小；⑵由單位角的使用的不便引出要把單位角合并為半圓工具；⑶由這種半圓工具度量不準確引出要把單位角分得更細些；⑷由細分后的半圓工具讀數不便引出要加刻度，進而引出兩圈刻度。

四、跨越成人視角的邊界真誠地向兒童學習

信奉兒童理論的教育工作者都贊同，每一位兒童的個體潛能都是巨大無比的，他們不僅會被動視聽和思考，他們還會創造“奇跡”。在一定意義上講，我們走近兒童，走進他們的生活、言語和心靈的世界，就是走向神奇。我們在數學教學創新實踐的過程中，更不應該忘記這一點。

1.淺顯的表述方式和理解路徑可能源自兒童

如講解題目“甲、乙兩人共有零花錢16.5元，甲的零花錢是乙的4倍。甲、乙各有零花錢多少元”時，教師習慣于如此講解：“把乙的錢看成1份，甲的錢就是4份，兩人合起來就是5份，5份是16.5元，那用‘16.5÷5就得到1份的錢，也就是乙的錢數，然后再求甲的錢數。”學生又是怎么想的呢？ “甲的零花錢是乙的4倍，可以把甲看成4個乙，這樣，16.5就是5個乙的錢數。用‘16.5÷5得乙，然后再乘4得甲”。不難發現，教師的表述機械、冰冷和繁瑣，而學生的表述淺顯、溫情和簡單，并且憑著數學直覺就已經用上了數學思想——替換。

2.鮮活的學習資源和深刻見解可能出自兒童

例如，在學習解決問題的策略“一一列舉”時，對例題“旅游團23人到旅館住宿，共安排了5個3人間和一些2人間（每個房間不能有空床位）。你知道安排了幾個2人間嗎？”的學習，學生就有比成人感受新知更敏銳細膩的出色表現。當時的情形是這樣的，我和學生根據不同的思考角度，分別從只住1個3人間和1個2人間想起，通過一一列舉得到了4種不同的安排方法（見表格一和表格二）。接著，比較兩張表格，目的僅是讓學生明白“先考慮3人間比較簡便，只需要列舉7種情況，而第二種方法要列舉10次”的道理。可是，部分學生卻把我引向了思考的“更深處”：第一個表格中，下面一排的數用前一個數減3就能得到下一個數，并且3正好是我們首先考慮的房間人數。第二個表格中，下面一排的數用前一個數減2就能得到下一個數，也正好對應著表格左上角的房間人數。對此，我們在表格三的基礎上就“3人間增加的6人來自2人間少掉的6人”展開了探討“一一列舉”的深度內涵和哲學意義的學習活動。

表格一

[3人間/間＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&2人間/間＼&10＼&—＼&7＼&—＼&4＼&—＼&1＼&]

表格二

[2人間/間＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&10＼&3人間/間＼&7＼&—＼&—＼&5＼&—＼&—＼&3＼&—＼&—＼&1＼&]

表格三

[3人間/間＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&2人間/間＼&10＼&—＼&7＼&—＼&4＼&—＼&1＼&][（3-1）×3=6][（10-7）×2=6]

3.有效的組織形式和反饋方法可能來自兒童

稍有些教學經驗的教師都知道，如果課堂教學的組織形式不能“黏住”學生的話，低年級的學生會“吵鬧”，高年級的學生則會“沉悶”；如果反饋方法效能低下，課上師生可能相安無事，感覺甚好，但課后作業則會問題多多。教師沒有足夠好的形式和方法的時候，不妨多向學生虛心請教，其實他們的高招多得很！如，“老師，你可以讓我們先悄悄地說給同桌聽，然后你再講解，接著‘揪出說錯的人，讓他（她）再說一說。”“老師，你可以找幾個人互相問一問，了解一些實際情況，再讓我們小組合作探究。”“讓我們自己先量一量，比一比，想一想，你不要著急！”等等。