數(shù)學(xué)課，學(xué)生的思維不能缺席

陸麗萍

兒童在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)過程是思維自由生長(zhǎng)的過程，數(shù)學(xué)概念在體驗(yàn)感悟中形成，數(shù)學(xué)規(guī)律在探究操作中發(fā)現(xiàn)。兒童在課堂上自由地敞開思維，在生活現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，在經(jīng)驗(yàn)積累中喚醒思維參與，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中嘗試解決路徑，不同的想法可以和同伴交流，相關(guān)的建議可以和教師共享，師生一起感受思維生長(zhǎng)的魅力。但是，在一些數(shù)學(xué)課堂上，師生亦步亦趨地照著教材提供的內(nèi)容和問題循規(guī)蹈矩地執(zhí)行和展開過程，所有的問題都是教師提出或教材上的設(shè)計(jì)，學(xué)生只有被動(dòng)答問的機(jī)會(huì)，至于怎么想到這個(gè)問題的，解決這個(gè)問題需要從什么角度去思考都是教師的“分內(nèi)事”，師生創(chuàng)造性使用教材的主動(dòng)權(quán)被剝奪了，導(dǎo)致學(xué)生的思維生長(zhǎng)空間被限制，心靈被禁錮。

一、問題會(huì)診與分析

【案例1】控制思維軌道

教師在教學(xué)萬以內(nèi)數(shù)的大小比較時(shí)，先出示下面四組數(shù)讓學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)的大小比較的方法。

38○68 96○93 17○67 32○23

生1：因?yàn)?<6，所以38<68。

生2：因?yàn)?>3，所以96>93。

再讓學(xué)生小結(jié)兩位數(shù)的大小比較的方法。

教師根據(jù)遷移教學(xué)的原理，安排了復(fù)習(xí)兩位數(shù)大小的比較方法。但是學(xué)生的思維生長(zhǎng)方式被割斷了，學(xué)生的思維模式在復(fù)習(xí)鋪墊中被禁錮了，學(xué)生只會(huì)用一種方法比較大小，為用多種方法比較1000以內(nèi)數(shù)的大小起到了一個(gè)負(fù)遷移的作用。可以說，教學(xué)伊始，教師就控制了學(xué)生的思維活動(dòng)，為學(xué)生預(yù)設(shè)了思維的軌道。

【案例2】壟斷思維過程

教師出示課本主題圖（圖中已知杉樹苗有312棵、松樹苗有285棵）。

師：從圖中小朋友可以看到什么？你能提出哪些問題？

生1：松樹苗比杉樹苗少多少棵？杉樹苗比松樹苗多多少棵？

師：也就是在比較兩種樹棵數(shù)的多少。（出示問題“杉樹苗和松樹苗比，哪一種多？”）

學(xué)生獨(dú)立嘗試后合作交流。

生2：312和285比，因?yàn)?>2，所以312>285。

生3：我是用加法，因?yàn)椤?8”再加幾個(gè)數(shù)才得31，所以312>285。

師：你都已經(jīng)知道了312>285，現(xiàn)在是倒過來了。

生4：我是從個(gè)位上比起的，285的“5”大于312的“2”，十位上還是285大，只有百位上才是3>2。

師：你們還可以這樣想，312和285接近哪一個(gè)整數(shù)？

生5：接近300，所以312>285。

師：你們還可以用數(shù)數(shù)的方法來比。

生6：285、286、287、289、290、291、292、293、…、311、312。

學(xué)生憑借已有的生活事實(shí)和直覺經(jīng)驗(yàn)就已經(jīng)知道了312比285大，所以他們提出的問題直接是“杉樹苗比松樹苗多多少棵？”而并不是教師所說的那樣，他們想比較杉樹苗和松樹苗誰多。由于受教材編排篇幅的限制，數(shù)學(xué)中隱含在知識(shí)載體上的豐富內(nèi)容的思維過程、智力活動(dòng)和情感品德，都無法顯性地表現(xiàn)出來。這種狹隘的教材觀割裂了學(xué)生與教材的生成對(duì)話，教學(xué)內(nèi)容成了空泛化的知識(shí)符號(hào)。

新課程理念下的課堂，教師未必能想學(xué)生所想，這就需要教師要有較高的駕馭和監(jiān)控能力，真正做到“以學(xué)論教”，找準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)。如果把問題設(shè)置為：你能從圖上知道些什么？你又是怎樣知道的？這樣學(xué)生交流時(shí)，就能調(diào)用原有的生活經(jīng)驗(yàn)和提取已有的知識(shí)儲(chǔ)備來思考解決問題。

【案例3】牽制學(xué)習(xí)過程

一位教師在教學(xué)四年級(jí)上冊(cè)的《平行和垂直》一課時(shí)，請(qǐng)學(xué)生在一張白紙上嘗試著畫出同一平面內(nèi)的2條直線。

黑板上呈現(xiàn)了學(xué)生畫的9種不同情況（如圖1）：

圖1

教師提出問題：“你打算分為幾類？”

學(xué)生憑借已有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知根據(jù)嘗試分成了所謂相交和不相交兩類（如圖2）：

[① ③ ④][⑧⑨][② ⑤ ⑥ ⑦][不相交][相交]

圖2

教師急切而顯緊張地追問（指著第二類即不相交的情況）：“難道這里的2條直線真的不相交嗎？請(qǐng)你再試一試，將直線延長(zhǎng)畫一畫。需要對(duì)分類再作調(diào)整嗎？”

在以上教學(xué)片段中，學(xué)生思維本應(yīng)豐盈的過程被烘干縮水，教師滿足于學(xué)生的思維要與教師的思維同步，硬要拉著學(xué)生往自己設(shè)定的教學(xué)過程中走，如有出轍，要么是不評(píng)價(jià)、不理睬，要么是否定學(xué)生想法的合理性。教學(xué)中教師要學(xué)會(huì)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，想學(xué)生所想、思學(xué)生所思，課堂上要能善于做一個(gè)愛傾聽的伙伴，蹲下來與學(xué)生交流，走到學(xué)生的世界中與他們心心相印，讓學(xué)生的個(gè)性在課堂上得到張揚(yáng)，讓學(xué)生的思想在課堂上得到放飛。

【案例4】思維盲目跟從

教師出示蘇教版五年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略》的例題 “旅游團(tuán)23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個(gè)房間不能有空床位），有多少種不同的安排？”后提問：你打算怎樣解決這一題？

生1：可以先從3人間開始想起，也可以從2人間開始想起。

生2：可以用列表的方法做。

生3：用算式23÷3=7（間）……2（人）。

教師根據(jù)生2的回答直接呈現(xiàn)了下面有序列舉的兩張表，讓學(xué)生填寫在書上。

[3人間/間＼&1＼&2＼&3＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&2人間/間＼&10＼&—＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

[2人間/間＼&1＼&2＼&3＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&3人間/間＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

然后組織學(xué)生分別校對(duì)了這兩張表。

殊不知，有些學(xué)生在做這一題時(shí)，沒有形成有序思維的方式。他們是用下表來做的：

[3人間＼&5＼&8＼&1＼&6＼&4＼&7＼&＼&2人間＼&4＼&＼&10＼&＼&＼&1＼&＼&]

學(xué)生在課堂上解決問題的方向、思考問題的角度，甚至是答題的格式都被教師預(yù)先設(shè)計(jì)好了，教師替代了本應(yīng)屬于學(xué)生的思維，學(xué)生在課堂上只要“跟著教師的感覺走”，盲從行為越來越多，靈動(dòng)思維越來越少。上述案例中，如無序思維的這種差異性、生成性資源沒有被捕捉，學(xué)生自由思維就得不到自然生長(zhǎng)。課堂成為教師教學(xué)的控制室，教師在這個(gè)舞臺(tái)上扮演著控制室里的技術(shù)監(jiān)控員的角色：控制著教學(xué)的內(nèi)容、控制著教學(xué)的節(jié)奏、控制著學(xué)生的思維、控制著學(xué)習(xí)的環(huán)境、控制著學(xué)習(xí)的資源。

【案例5】替代學(xué)生思維

一教師教學(xué)一年級(jí)的《統(tǒng)計(jì)》時(shí)創(chuàng)設(shè)了以下教學(xué)情境。

第一次觀察：電腦上無序地呈現(xiàn)正方形、三角形、圓三個(gè)圖形，每一個(gè)呈現(xiàn)2秒后消失。

師：你看到了哪些圖形？你知道它們各有幾個(gè)嗎？（學(xué)生紛紛表示沒有數(shù)清楚）

師：那你有什么好方法能夠數(shù)清楚它們各有幾個(gè)呢？

生：把它們畫下來，把它們記下來。

第二次觀察：電腦上重復(fù)播放剛才的畫面，學(xué)生觀察記錄完以后匯報(bào)。

生1：太快了，我沒來得及記錄。

生2：我只看了正方形，看到一個(gè)畫一個(gè)，沒記錄其他的，所以數(shù)到正方形有5個(gè)。

生3：我把三角形一個(gè)一個(gè)畫了下來，可是沒有記全其他的。

生4：我是看到一個(gè)圖形就記一個(gè)圖形，所以沒記全。

生5：我用數(shù)字“1”代表正方形，用數(shù)字“2”代表三角形，用數(shù)字“3”代表圓來記的。

師：我在一⑸班看到有小朋友先把正方形、三角形、圓畫下來，再用打√的方法，看到一個(gè)就打一個(gè)。（現(xiàn)在上課的班級(jí)是一⑷班）

師：你們喜歡哪一種方法？

大多數(shù)的學(xué)生認(rèn)為教師介紹的方法好。

第三次觀察：學(xué)生統(tǒng)一用教師介紹的方法記錄，得到了統(tǒng)一的結(jié)果。（盡管這時(shí)生1還堅(jiān)持自己的方法是最好的，但也只能被迫使用教師介紹的方法，因?yàn)榻處熣f的肯定是對(duì)的。）

該教師過于追求形式的熱鬧，十八般武藝樣樣齊全，可惜就是思維的味道不濃，學(xué)生的思維在熱鬧的場(chǎng)景中被悄悄隱去和抽空了。在這里教師沒有聽懂學(xué)生的發(fā)言，就迫不及待地讓自己的思維替代學(xué)生的思維。這種形式主義表面上追求熱鬧與活躍，實(shí)際上卻成了思維假象的溫床，學(xué)生的思考被割舍、思維被阻斷、思路被束縛，思維處于僵化、蒼白狀態(tài)。

二、教學(xué)策略與重建

“思維是人類最美麗的花朵”（恩格斯語）。學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，應(yīng)初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題。兒童思維的空間本來就是無限廣闊的，但有些教師總喜歡用成人的思維方式、固定的思維模式、狹隘的思維視野去約束學(xué)生的個(gè)性化思維，扼殺學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教學(xué)需要喚醒和激活，即尊重學(xué)生思維的獨(dú)特性和豐富性，允許學(xué)生思維出差錯(cuò)、有偏差，甚至有誤解，允許學(xué)生錯(cuò)了重答，答得不完整的允許補(bǔ)充，不明白的允許發(fā)問，有不同意見的允許爭(zhēng)論，允許學(xué)生向教師發(fā)難，以努力形成促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的策動(dòng)力、引發(fā)情感體驗(yàn)的源動(dòng)力、激起學(xué)生自主創(chuàng)新的推動(dòng)力。在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)珍視學(xué)生獨(dú)特的感受、體驗(yàn)和理解，加深學(xué)生的理解和體驗(yàn)，讓學(xué)生有所感悟和思考，幫助和指導(dǎo)學(xué)生獲得思想的啟迪、思維的自由和個(gè)性的解放，在師生互動(dòng)中達(dá)成理解的多元、個(gè)性的尊重、智慧的對(duì)話、科學(xué)的判斷、合理的解釋。

1.思維在背景中豐富生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)教育的目的之一是通過數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維。課堂上應(yīng)提供豐富的智力背景，設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生的思維空間更具延展性，從而不斷催生智慧。

例如，教學(xué)三年級(jí)的《數(shù)的大小比較時(shí)》，教師設(shè)計(jì)了三次游戲體驗(yàn)活動(dòng)，不斷豐富學(xué)生的思維背景，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)。

第一次游戲活動(dòng)：兩個(gè)小組各派一名代表來抽簽，各依次抽出四個(gè)數(shù)字，將第一次抽到的數(shù)字放在個(gè)位上，把第二次抽到的放在百位上，第三次……比一比哪一隊(duì)抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，誰就贏。這個(gè)游戲規(guī)則是從低位比起的，必須要抽四次才能決定勝負(fù)。通過游戲讓學(xué)生初步了解了一個(gè)數(shù)的大小要看最高位，兩個(gè)四位數(shù)比較，千位上的數(shù)大的這個(gè)數(shù)才大。

第二次游戲活動(dòng)：將抽到的四個(gè)數(shù)字，第一次抽到的數(shù)字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……按照這個(gè)游戲規(guī)則，一般只要抽一次就能決定勝負(fù)，只有抽到了相同的數(shù)字才需要繼續(xù)抽。在游戲中學(xué)生發(fā)現(xiàn)了數(shù)字從高位比起更簡(jiǎn)便。

第三次游戲活動(dòng)：由各組的代表自己決定先放在哪一數(shù)位上。這次游戲的目的是讓學(xué)生根據(jù)第一次和第二次游戲的經(jīng)驗(yàn)，把較大的數(shù)放在高位上，使自己的數(shù)最大，進(jìn)一步強(qiáng)化了從高位比起的意識(shí)。

在輕松愉快的游戲中學(xué)生就不知不覺地掌握了比較數(shù)的大小的規(guī)律，學(xué)會(huì)了比較數(shù)的大小。

2.思維在活動(dòng)中鑲嵌生成

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。在兒童生活中已經(jīng)積累的日常活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、日常生活經(jīng)驗(yàn)、智力背景可能蘊(yùn)藏著一筆巨大的寶庫。為兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)豐富、現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)性的問題情境，可以讓活動(dòng)負(fù)載著思維，為兒童搭建思維的支架，使提供的背景更具有智力加工的豐富性，培植孕育創(chuàng)新的思考元素，促使兒童通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)思維。

例如，教學(xué)圓錐體的體積計(jì)算公式驗(yàn)證與推導(dǎo)時(shí)，組織了實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：學(xué)生每組做的實(shí)驗(yàn)材料是等底等高的圓柱和圓錐，用倒沙的方法證明等底等高的圓柱體積是圓錐的3倍。由于是兩個(gè)透明杯，有學(xué)生提出了有思考價(jià)值的問題：既然直角三角形的面積是與它等底等高的長(zhǎng)方形面積的一半，為什么將它們旋轉(zhuǎn)成立體圖形后，體積是3倍的關(guān)系呢？其他學(xué)生受之啟發(fā)，思維活躍，紛紛主動(dòng)探尋辦法、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行證明。

3.思維在交流中催生創(chuàng)造

“有益的思考方式和應(yīng)有的思維習(xí)慣應(yīng)放在數(shù)學(xué)教育的首位。” “學(xué)生想什么比教師講什么重要千百倍。”在教學(xué)中賦予學(xué)生思考的空間，讓學(xué)生在思考中感受數(shù)學(xué)思想的力量，在學(xué)生心里造成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態(tài)的過程中，教師與學(xué)生分享彼此的思考、經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，交流彼此的情感、體驗(yàn)與觀念，豐富教學(xué)內(nèi)容，獲得新的發(fā)現(xiàn)，從而達(dá)到共識(shí)、共享、共進(jìn)。這樣的平等對(duì)話，不僅是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)過程，更是一種人與人之間平等的精神交流，意味著主體的凸顯、個(gè)性的表現(xiàn)、創(chuàng)造性的解放、生命成長(zhǎng)的過程。

例如，蘇教版五年級(jí)上冊(cè)《求小數(shù)的近似數(shù)》中的例題“地球和太陽之間的距離是1.496億千米。（1）精確到十分位是多少億千米？（2）精確到百分位是多少億千米？”一教師教學(xué)時(shí)讓學(xué)生分別寫出這兩題的答案并集體校對(duì)，交流求近似數(shù)的方法。教師指出：在這里，1.50要比1.5更精確些。有學(xué)生質(zhì)疑：“為什么1.50比1.5要更精確一些？”教師回答：“書上就是這樣說的。”然后請(qǐng)學(xué)生將書上的原話讀一遍：“在這里，1.5是精確到十分位的近似數(shù)，1.50是精確到百分位的近似數(shù)，所以，1.50比1.5更精確一些。”

我們知道，書上呈現(xiàn)的結(jié)論性數(shù)學(xué)知識(shí)教師不能“拿來主義”，簡(jiǎn)單告之。事實(shí)上，從學(xué)生的視角來看，以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中沒有相關(guān)的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，又沒有相應(yīng)的生活原型來提取，要讓學(xué)生真正理解“1.50比1.5更精確些”確實(shí)有一定的難度。教師由于對(duì)學(xué)生的學(xué)情沒有充分了解和分析，所組織的學(xué)習(xí)材料由于典型性和啟發(fā)性不夠，以致沒能及時(shí)捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑和需求，預(yù)設(shè)不夠充分，造成學(xué)生思維產(chǎn)生障礙。其實(shí)，教師可以將材料重新組織和加工，幫助學(xué)生在體驗(yàn)中豐富認(rèn)知，在比較中建構(gòu)模型。例如給學(xué)生呈現(xiàn)以下兩組補(bǔ)充材料。

第一組材料：教師身高1.635米，請(qǐng)你將它分別保留整數(shù)、一位小數(shù)、兩位小數(shù)。得到：1.635米≈2米，1.635米≈1.6 米，1.635米≈1.64米。讓學(xué)生思考：你認(rèn)為這三個(gè)近似數(shù)哪個(gè)最接近教師的實(shí)際身高？為什么？從而說明，精確位數(shù)不同，它們的精確度也不同。

第二組材料：在□里填上合適的數(shù)字。5.□元≈6元（保留整數(shù)） ， 6.□元≈6元（保留整數(shù)），5.9□元≈6.0元（保留一位小數(shù)），6.0□元≈6.0元（保留一位小數(shù)）。創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突：6元和6.0元好像都是6元錢左右，你認(rèn)為6元和6.0元一樣嗎？為什么？引導(dǎo)學(xué)生爭(zhēng)辯，用舉例或畫數(shù)軸圖來說明精確度的不同。學(xué)生通過畫圖說明：6元表示大于5.9元而小于6.4元之間的。而6.0元表示的是大于5.95元而小于6.04元之間的。

資源在交流中生成，方法在交流中孕育，思路在交流中延展，思想在交流中催生，思維在交流中提升，兒童在享受數(shù)學(xué)思考的過程中思維更趨深刻、豐富、全面。