變通轉(zhuǎn)化 拓展思維

薛志梅

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“培養(yǎng)思維能力并達(dá)到熟練運(yùn)用是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)之一；數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”由此可見，教學(xué)數(shù)學(xué)的目的應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生思考的意識，拓展學(xué)生思維的寬度，使學(xué)生能應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題，體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系。那么，如何在教學(xué)中使學(xué)生掌握變通的方式，最后達(dá)到思維拓展的目的呢？

一、學(xué)法不變，教法變

許多教師在數(shù)學(xué)課堂中常常碰到這樣的問題：同類型的題目已經(jīng)講了“一百零八遍”，講的時候?qū)W生回答得頭頭是道、口若懸河，可到下次練習(xí)時，題目稍作改動，學(xué)生仍不會解題，原因何在？思來想去，是因為教材中的范題少之又少，且教師只是就題講題，一旦題目發(fā)生變化，有的學(xué)生就會束手無策。這就需要教師善于引導(dǎo)學(xué)生探索，培養(yǎng)學(xué)生用變通的思維解決各種各樣的題目。

例如，教學(xué)“混合運(yùn)算解決問題”時，有這樣一道習(xí)題：“6名學(xué)生去參觀書畫展出，共付門票30元，每人乘車用2元。平均每人花了多少錢？你還能提出什么數(shù)學(xué)問題？”有的學(xué)生順著原來問題的思路提出問題，如“每人付門票比乘車多幾元”等；有的則逆著原來問題的思路提出問題，如“一共付了多少元”等。在解決上述習(xí)題過程中，學(xué)生首先可以提出順向思考的問題，即仿照原來問題的格式、思考方向提出新的問題，再提出逆向思考的問題。可想而知，后者更具有挑戰(zhàn)性。在這樣提出問題的訓(xùn)練中，培養(yǎng)了學(xué)生多角度、多方面思考數(shù)學(xué)問題的品質(zhì)。

二、題目不變，解法變

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需要將數(shù)學(xué)思考和生活經(jīng)驗有機(jī)結(jié)合，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的數(shù)理關(guān)系進(jìn)行知識建構(gòu)，將處于經(jīng)驗水平的概念調(diào)整到大致相同的水平中來，從而獲得新知。

例如，蘇教版教材第十一冊第83頁有這樣一道例題：“嶺南小學(xué)六年級有45個同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動會，其中男運(yùn)動員占。女運(yùn)動員有多少人？”出示例題之后，教師并沒有直接告訴學(xué)生必須用什么樣的方法解答，而是讓學(xué)生通過小組活動的方式自己嘗試解決。學(xué)生自己先獨立思考，然后小組交流，結(jié)果出現(xiàn)了以下多種解法。

解法1：45-45×

解法2：45×（1-）

解法3：45÷9=5（個）

解法4：45÷9=5（個）

5×5=25（個） 9-5=4 （份）

45-25=20（人） 4×5=20（人）

……

分析教材時，發(fā)現(xiàn)大綱要求學(xué)生掌握第一種方法，理解第二種方法，沒有涉及第三種方法。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積累、整理與改造已有的經(jīng)驗，靈活運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的知識，通過縱橫發(fā)散、知識串聯(lián)、綜合溝通等方式，將各種解法進(jìn)行比較、優(yōu)化，做到前后聯(lián)系、融會貫通。

三、關(guān)鍵不變，已知變

英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞說過：“數(shù)學(xué)的目的就是用簡單、基本的詞匯去盡可能多地解釋世界。”解決問題范圍大，變化多，是數(shù)學(xué)中的“老大難”問題。因此，我們需要梳理知識發(fā)展路徑中的“主干”，在教學(xué)中抓住“牽一發(fā)而動全身”中的“一”，引導(dǎo)學(xué)生逐步推理，培養(yǎng)變通思維。

例如，學(xué)習(xí)解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題之后，出示下面一組題目（把條件和相應(yīng)的式子連起來），引導(dǎo)學(xué)生針對混淆的知識，進(jìn)行綜合對比。

學(xué)校有足球60個， 。學(xué)校有排球多少個？

設(shè)學(xué)校有排球x個。

（1）比排球多20% 60+60×20%

（2）比排球少20% 60-60×20%

（3）排球的個數(shù)比足球多20% x-x×20%=60

（4）排球的個數(shù)比足球少20% x+x×20%=60

這道題條件在變，算式也在變，但解題的關(guān)鍵沒有變。學(xué)生只要抓住單位“1”的量，判斷單位“1”的量是已知的還是未知的，就能順利解決問題。單位“1”已知的用算術(shù)方法解題，單位“1”未知的用方程來解答，在這樣的基礎(chǔ)上思考，降低了解題難度，從而順利解題。

四、方法不變，題目變

我們的數(shù)學(xué)課堂，計算和推理是相通的。在數(shù)學(xué)的新知學(xué)習(xí)和日常學(xué)習(xí)中，題目千變?nèi)f化，但最終闡述的是解題的規(guī)律，讓學(xué)生通過直觀感知，由外到內(nèi)、由感性到理性，在多層次比較后提出自己的新發(fā)現(xiàn)。因此，加強(qiáng)習(xí)題的變式訓(xùn)練，可以讓學(xué)生更好地把握問題的實質(zhì)，提高思維的靈活性，獲得知識的鞏固和提高。

如：“在方框里填運(yùn)算符號，使兩邊相等。”

（1）984-332-168=984-（332□168）；

（2）984-597+397=984-（597□397）；

（3）984+597-397=984+（597□397）；

（4）984-597+397=984-（597□397）；

（5）984-（332+168）=984□332□168；

（6）984-（332-168）=984□332□168。

學(xué)生完成以后，引導(dǎo)他們比較辨析，找出變化的規(guī)律。這樣既使學(xué)生掌握一般的解題方法，又靈活運(yùn)用算法解決問題，使計算合理簡便，培養(yǎng)了思維的靈活性與創(chuàng)造性。

五、信息不變，問題變

數(shù)學(xué)課堂的思維拓展，歸根結(jié)底是為了培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。如果學(xué)生在課堂中將他們所獲得的經(jīng)驗，以一種分享、討論的方式呈現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的經(jīng)驗獲得能力與經(jīng)驗改造能力，對學(xué)生思維能力的發(fā)展有著重要的意義。

例如，學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題”后，可采用對比綜合的方式進(jìn)行復(fù)習(xí)。首先，進(jìn)行橫向比較。先出示“本班有女生20人”“男生30人”這兩個條件，要求學(xué)生根據(jù)這兩個條件提出與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題有關(guān)的問題并解答。在反饋交流后，教師有意識地選擇“男生人數(shù)是女生人數(shù)的幾分之幾”“女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾”“女生人數(shù)比男生人數(shù)少幾分之幾”“男生人數(shù)比女生人數(shù)少幾分之幾”這四個問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，復(fù)習(xí)“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”中的數(shù)量關(guān)系與結(jié)構(gòu)特征。其次，讓學(xué)生自編練習(xí)題并完成解答。在交流中，圍繞單位“1”、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)特點、解題思路等方面新編四道題，在求同存異的分析比較中，引導(dǎo)學(xué)生弄清分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題之間的聯(lián)系和區(qū)別。

中科院院士、著名數(shù)學(xué)家張景中認(rèn)為：“培養(yǎng)學(xué)生的變通思維，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的具體規(guī)律，是我們一線教師應(yīng)該注意的重要過程。”因此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)努力引導(dǎo)學(xué)生自己去挖掘興趣的源泉，讓他們在這個發(fā)現(xiàn)過程中體驗到自己思維的成功。所以，培養(yǎng)學(xué)生的思維和舉一反三的意識，教師需要為學(xué)生打開一扇窗。