分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

殷志琴

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，用以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究、猜想、轉(zhuǎn)化等思想方法.近年來(lái)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，是每一位數(shù)學(xué)教師積極探索、努力踐行的方向，也是符合新課改標(biāo)準(zhǔn)、推行素質(zhì)教育的有效途徑.

數(shù)學(xué)分類思想，是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論的思想貫穿始終，應(yīng)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能起到事半功倍的效果，對(duì)學(xué)生高效解決問(wèn)題帶來(lái)極大的方便.而分類的過(guò)程又能充分培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性和提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探索能力.

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識(shí)

教師要充分利用學(xué)生原有的分類知識(shí)和分類能力，把它正向遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)中來(lái)，形成分類思想的有效滲透.

初一年級(jí)的數(shù)學(xué)就對(duì)數(shù)域進(jìn)行了擴(kuò)充.根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)、生活的需要，以及學(xué)生在小學(xué)學(xué)過(guò)正數(shù)和零的基礎(chǔ)，以0下的氣溫、存取錢、水位的上升和下降等實(shí)際問(wèn)題引入負(fù)數(shù)，從而將數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)，這時(shí)就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類，這也是學(xué)生在初中階段首次體驗(yàn)分類思想，并充分感受到分類標(biāo)準(zhǔn)不同，就有不同的分類方法.例如，可以按有理數(shù)的定義分類，分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；可以按有理數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，分為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；也可以按小數(shù)分類，分為有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù).通過(guò)絕對(duì)值的知識(shí)也能很好地滲透分類思想.通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生體驗(yàn)絕對(duì)值的意義，即一個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，這里重點(diǎn)領(lǐng)悟 “點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離”，讓學(xué)生明白絕對(duì)值——距離——非負(fù)數(shù)之間的聯(lián)系和滲透，從而產(chǎn)生給有理數(shù)的絕對(duì)值分類的意識(shí)，即“正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；零的絕對(duì)值是零；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)”，形成恰當(dāng)?shù)姆诸惙绞?在學(xué)習(xí)用式表示數(shù)后，又可對(duì)式進(jìn)行分類，即整式分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，通過(guò)對(duì)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的學(xué)習(xí)為后繼整式加減的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對(duì)每一子類的問(wèn)題加以解答，掌握合理的分類方法，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類

學(xué)習(xí)三角形的外心知識(shí)時(shí)，要根據(jù)三角形的形狀分類討論三角形外心與三角形的位置關(guān)系：銳角三角形外心在三角形內(nèi)部；直角三角形外心在斜邊的中點(diǎn)處；鈍角三角形外心在三角形的外部.這些分類要通過(guò)學(xué)生親自尺規(guī)作圖來(lái)感受，讓學(xué)生自主形成良好的分類意識(shí).

在直線和圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)中，我們是根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行分類的：當(dāng)直線與圓沒有交點(diǎn)時(shí)叫做直線與圓相離；當(dāng)直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切；當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)叫直線與圓相交.

在學(xué)習(xí)圓周角定理證明時(shí)，可根據(jù)圓心與圓周角的位置不同分別討論，如圓周角的一條邊經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，這種情況比較特殊也容易證明，在這種特殊情況下證得結(jié)論，即“同弧所對(duì)的圓周角是該弧所對(duì)圓心角的一半”，再將這種方法遷移到圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部時(shí)的證明上，也就是通過(guò)作直徑達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的.這也是分類思想在定理證明中的重要體現(xiàn).

三、 引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

近年來(lái)中考命題最后一個(gè)壓軸題綜合性較強(qiáng)，尤其第三個(gè)問(wèn)題一般都是開放式的，內(nèi)容涉及二次函數(shù)、解直角三角形、圓、一元二次方程、三角形的相似等重要知識(shí).因此教學(xué)中要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分類的重要意義，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將一些綜合復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行正確的分類，提煉出清晰的解題思路.

一般來(lái)講，利用分類討論思想和方法解決的問(wèn)題有兩大類：其一是在代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)解決問(wèn)題；其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)的不同位置的情況，逐一討論解決問(wèn)題.

五、分類討論要注意的問(wèn)題

1.熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰與角以及圓的對(duì)稱性，根據(jù)圖形的特殊性質(zhì)，找準(zhǔn)討論對(duì)象，逐一解決.在探討等腰或直角三角形存在時(shí)，一定要按照一定的原則，不要遺漏，最后要綜合.

2.討論點(diǎn)的位置，一定要看清點(diǎn)所在的范圍，是在直線上，還是在射線或者線段上.

3.圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系多涉及三角形的全等或相似問(wèn)題，對(duì)其中可能出現(xiàn)的有關(guān)角、邊的可能對(duì)應(yīng)情況加以分類討論.

4.代數(shù)式變形中如果有絕對(duì)值、平方時(shí)，里面的數(shù)開出來(lái)要注意正負(fù)號(hào)的取舍.

5.考查點(diǎn)的取值情況或范圍.這部分多是考查自變量的取值范圍的分類，解題中應(yīng)注意性質(zhì)、定理的使用條件及范圍.

6.函數(shù)題目中如果說(shuō)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，那么一定要討論這個(gè)交點(diǎn)是和哪一個(gè)坐標(biāo)軸的哪一半軸的交點(diǎn).

7.由動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題引出的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動(dòng)方式改變后（比如從一條線段移動(dòng)到另一條線段），所寫的函數(shù)式應(yīng)該進(jìn)行分段討論.

實(shí)踐證明，在現(xiàn)有教材的教學(xué)中著力滲透分類的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生掌握正確分類的思想方法，并結(jié)合其他數(shù)學(xué)思想方法，就能啟發(fā)學(xué)生的探究性思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

（責(zé)任編輯 金 鈴）